Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 180 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет…

Для решения данной задачи нужно рассмотреть, как можно распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре была максимальной. Важно понять, что:

1. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор чисел на две равные части. Для массива с нечетным количеством элементов, медиана — это средний элемент, а для четного — среднее двух средних.

Чтобы максимизировать медиану, мы можем использовать следующий подход:

Шаг 1: Определим количество сотрудников

Пусть \( n \) — это количество сотрудников в отделе.

Шаг 2: Разделение суммы на сотрудников

Если начальник отдела выделяет 180 тыс. рублей на премирование, его цель — максимизировать величину медианы общих выплат. Общие выплаты сотрудника \( i \) можно представить как \( Z_i = S_i + P_i \), где \( S_i \) — это зарплата сотрудника, а \( P_i \) — премия, которую он получит.

Шаг 3: Распределение премий

Чтобы медиана была максимальной, логично предположить, что большую часть премии стоит дать сотрудникам с наименьшими зарплатами. Это можно сделать следующим образом:

• Дадим некоторую премию \( x \) всем сотрудникам. Если это возможно, оставшуюся сумму распределим среди менее обеспеченных сотрудников для увеличения медианы.

Шаг 4: Оптимизация медианы

Предположим, что все сотрудники получают равную премию. Тогда, если \( x \) — это премия каждому:

\[ n \cdot x \leq 180 \text{ тыс. р.} \]

Следовательно, максимальная премия, которую может получить каждый сотрудник, составляет:

\[ x = \frac{180 \text{ тыс. р.}}{n} \]

Шаг 5: Пример

Предположим, что \( n \) — четное число:

Если \( n = 4 \): \[ x = \frac{180}{4} = 45 \text{ тыс. р.} \] Каждый сотрудник получит 45 тыс. р. и, если его зарплата была 0, медиана будет равна 45 тыс. р.

Если \( n = 3 \): \[ x = 60 \text{ тыс. р.} \] Здесь, если один из сотрудников получает 0, а остальные два — 60, медиана будет 60 тыс. р.

Поэтому, чтобы достичь наилучшей медианы, надо рассмотреть различное число сотрудников и сколько премий выделять.

Шаг 6: Наибольшая медиана

Резюмируя, наибольшая медиана возможного распределения премий может быть достигнута, когда:

• Все сотрудники либо получают равные премии, либо премии распределяются так, чтобы только часть сотрудников занималась получением премии.

Вывод

Наибольшая возможная медиана выплат составит: \[ \text{max медиана} = 90 \text{ тыс. р.} \]

Таким образом, ответом на вашу задачу будет 90 (в тысячах рублей).