Для решения данной задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции. Ниже приведем подробное объяснение, как найти максимальную ставку налога, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет.
Шаг 1: Понимание задачи и формирование уравнения
Из условия задачи мы знаем, что зависимость поступлений в бюджет (обозначим её ( P )) от налоговой ставки (обозначим её ( x )) является квадратичной функцией, то есть:
[ P(x) = ax^2 + bx + c ]
где ( a, b, c ) — коэффициенты, которые нам нужно найти.
Шаг 2: Составление системы уравнений
Из условия мы имеем следующие точки, которые будут служить для построения уравнения:
- ( P(10) = 1.3 ) млрд фантиков (при ( x = 10 ))
- ( P(33) = 1.3 ) млрд фантиков (при ( x = 33 ))
- ( P(27) = 1.6 ) млрд фантиков (при ( x = 27 ))
Подставим эти данные в уравнение.
Для ( x = 10 ):
[ P(10) = 100a + 10b + c = 1.3 ]
Для ( x = 33 ):
[ P(33) = 1089a + 33b + c = 1.3 ]
Для ( x = 27 ):
[ P(27) = 729a + 27b + c = 1.6 ]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
[
\begin{align*}
(1) & \quad 100a + 10b + c = 1.3 \
(2) & \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \
(3) & \quad 729a + 27b + c = 1.6 \
\end{align*}
]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Отнимем первое уравнение от второго и от третьего, чтобы исключить ( c ):
[
(2) - (1): \quad 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \quad \Rightarrow \quad 989a + 23b = 0 \quad (4)
]
[
(3) - (1): \quad 729a + 27b - 100a - 10b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad 629a + 17b = 0.3 \quad (5)
]
Теперь решим уравнение (4) для ( b ):
[ b = -\frac{989}{23}a \quad (6) ]
Подставим (6) в (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3
]
[
629a - \frac{16813}{23}a = 0.3
]
Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дробей:
[
14567a - 16813a = 6.9 \implies -2246a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307
]
Теперь подставим ( a ) в (6), чтобы найти ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx 0.199
]
Шаг 4: Решение для ( c )
Теперь подставим ( a ) и ( b ) в одно из начальных уравнений, чтобы найти ( c ):
[
100(-0.00307) + 10(0.199) + c = 1.3 \implies c = 1.3 + 0.307 - 1.99 \approx 1.993
]
Шаг 5: Определение максимума функции
Теперь у нас есть выражение для ( P(x) ):
[ P(x) = -0.00307x^2 + 0.199x + 1.993 ]
Максимум квадратичной функции находится в точке:
[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.199}{2 \cdot (-0.00307)} \approx 32.4 ]
Ответ
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 32.4%.
