Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции. Ниже приведем подробное объяснение, как найти максимальную ставку налога, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет.
Шаг 1: Понимание задачи и формирование уравнения
Из условия задачи мы знаем, что зависимость поступлений в бюджет (обозначим её \( P \)) от налоговой ставки (обозначим её \( x \)) является квадратичной функцией, то есть: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a, b, c \) — коэффициенты, которые нам нужно найти.
Шаг 2: Составление системы уравнений
Из условия мы имеем следующие точки, которые будут служить для построения уравнения:
- \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков (при \( x = 10 \))
- \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков (при \( x = 33 \))
- \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков (при \( x = 27 \))
Подставим эти данные в уравнение.
Для \( x = 10 \): \[ P(10) = 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для \( x = 33 \): \[ P(33) = 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Для \( x = 27 \): \[ P(27) = 729a + 27b + c = 1.6 \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
\[ \begin{align*} (1) & \quad 100a + 10b + c = 1.3 \\ (2) & \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \\ (3) & \quad 729a + 27b + c = 1.6 \\ \end{align*} \]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Отнимем первое уравнение от второго и от третьего, чтобы исключить \( c \):
\[ (2) - (1): \quad 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \quad \Rightarrow \quad 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
\[ (3) - (1): \quad 729a + 27b - 100a - 10b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Теперь решим уравнение (4) для \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \quad (6) \]
Подставим (6) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 14567a - 16813a = 6.9 \implies -2246a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307 \]
Теперь подставим \( a \) в (6), чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx 0.199 \]
Шаг 4: Решение для \( c \)
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из начальных уравнений, чтобы найти \( c \): \[ 100(-0.00307) + 10(0.199) + c = 1.3 \implies c = 1.3 + 0.307 - 1.99 \approx 1.993 \]
Шаг 5: Определение максимума функции
Теперь у нас есть выражение для \( P(x) \): \[ P(x) = -0.00307x^2 + 0.199x + 1.993 \]
Максимум квадратичной функции находится в точке: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.199}{2 \cdot (-0.00307)} \approx 32.4 \]
Ответ
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 32.4%.
