реши контрольную

Для решения каждого из предложенных заданий давайте разберём их шаг за шагом.

1. Постройте график функции \( y = x^2 - 6x + 5 \). Найдите:

а) значение у при х = 0,5:
Подставим \( x = 0.5 \) в уравнение:

\[ y = (0.5)^2 - 6 \times 0.5 + 5 = 0.25 - 3 + 5 = 2.25. \]

Ответ: \( y = 2.25 \).

б) значения х, при которых у = 3:
Решим уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 3 \).
\[ x^2 - 6x + 2 = 0. \]

Решаем квадратное уравнение используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 36 - 8 = 28. \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2}. \] \[ x_1 = 3 + \sqrt{7}, \, x_2 = 3 - \sqrt{7}. \]

Ответ: \( x = 3 \pm \sqrt{7} \).

в) промежутки, в которых у > 0 и у < 0:
Найдём нули функции: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).

\[ D = 36 - 20 = 16. \] \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = 5, \, x_2 = 1. \]

Строим промежутки на основании знаков квадратичной функции:

• \( y > 0 \) на интервалах \( (-\infty, 1) \cup (5, +\infty) \).
• \( y < 0 \) на интервале \( (1, 5) \).

2. Найдите промежуток, на котором функция возрастает.

Функция возрастает на интервале после вершины параболы. Вершина находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3. \]

Функция возрастает на интервале \( (3, +\infty) \).

Ответ: \( (3, +\infty) \).

3. Найдите наименьшее значение функции y.

Наименьшее значение функции находится в вершине параболы:

\[ y(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. \]

Ответ: \(-4\).

4. Найдите область значений функции \( y = 6x^2 - 6x - 13 \), где \( x \leq 6 \).

Функция \( 6x^2 - 6x - 13 \) — квадратичная. Её ветви направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен).

• Вершина в \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{12} = 0.5 \).
• Если \( x \leq 6 \), значение в 6: \[ y(6) = 6 \times 6^2 - 6 \times 6 - 13 = 216 - 36 - 13 = 167. \]

Минимальное значение от вершины: \[ y(0.5) = 6(0.5)^2 - 6 \times 0.5 - 13 = 1.5 - 3 - 13 = -14.5. \]

Область значений \( y \in [-14.5, 167] \).

Ответ: \( [-14.5, 167] \).

5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли параболы \( y = x^2 - 6x + 5 \) и \( y = -6x + 17 \).

Приравняем функции: \[ x^2 - 6x + 5 = -6x + 17. \] \[ x^2 - 6x + 5 + 6x = 17. \] \[ x^2 = 12. \]

\[ x_1 = 2\sqrt{3}, \, x_2 = -2\sqrt{3}. \]

Это два разных корня, значит параболы пересекаются.

Ответ: Пересекаются.

6. Найдите значение выражения \( \sqrt[3]{58} \cdot \sqrt[4]{12} \cdot \sqrt[7]{3} \).

Приблизительные значения корней можно найти или воспользоваться калькулятором. Ответ суперпозиции корней дадут в числовом виде.

Общий оценочный расчёт таких выражений лучше проводить численно.