Для решения задачи, давайте обозначим переменные и поймем взаимосвязь между ними. У нас есть ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которую обозначим как ( x ) (в процентах), и поступления в бюджет, обозначенные как ( P ) (в миллиардах фантиков). Исходя из условий задачи, можно записать следующие данные:
- При ( x = 10% ), ( P = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 33% ), ( P = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 27% ), ( P = 1.6 ) млрд фантиков.
Шаг 1: Запись функции зависимости
Согласно условию, приход налогов является квадратичной функцией от ставки налога. Мы можем записать это в следующем виде:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно будет определить.
Шаг 2: Система уравнений
Мы можем подставить известные значения в данную функцию. Получим систему из трёх уравнений.
Подставим в функцию ( x = 10 ):
[
P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3
]
или
[
100a + 10b + c = 1.3
]
(Уравнение 1)
Подставим в функцию ( x = 33 ):
[
P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3
]
или
[
1089a + 33b + c = 1.3
]
(Уравнение 2)
Подставим в функцию ( x = 27 ):
[
P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6
]
или
[
729a + 27b + c = 1.6
]
(Уравнение 3)
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- ( 100a + 10b + c = 1.3 ) (1)
- ( 1089a + 33b + c = 1.3 ) (2)
- ( 729a + 27b + c = 1.6 ) (3)
Чтобы упростить решение, вычтем из уравнений (2) и (3) уравнение (1):
Вычтем (1) из (2):
[
(1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3
]
Преобразуем:
[
989a + 23b = 0 \quad (Уравнение 4)
]
Вычтем (1) из (3):
[
(729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3
]
Преобразуем:
[
629a + 17b = 0.3 \quad (Уравнение 5)
]
Теперь у нас есть две новые уравнения (4) и (5):
- ( 989a + 23b = 0 ) (4)
- ( 629a + 17b = 0.3 ) (5)
Шаг 4: Установление соотношений
Теперь выразим ( b ) через ( a ) из уравнения (4):
[
b = -\frac{989}{23}a
]
Подставим это значение в уравнение (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3
]
Преобразуем:
[
629a - \frac{16813}{23}a = 0.3
]
Умножим на 23 для избавления от дробей:
[
14467a - 16813a = 6.9
]
[
-2346a = 6.9
]
[
a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294
]
Теперь подставим значение ( a ) обратно в ( b = -\frac{989}{23}a ):
[
b \approx -\frac{989}{23} \cdot -0.00294 \approx 0.128
]
Шаг 5: Найти c
Подставим значения ( a ) и ( b ) в одно из оригинальных уравнений, чтобы найти ( c ):
[
100(-0.00294) + 10(0.128) + c = 1.3
]
[
-0.294 + 1.28 + c = 1.3
]
[
c \approx 1.3 - 0.986 = 0.314
]
Шаг 6: Получим уравнение
Теперь мы имеем уравнение:
[
P(x) = -0.00294x^2 + 0.128x + 0.314
]
Шаг 7: Максимум функции
Максимум квадратичной функции ( ax^2 + bx + c ) находится в точке:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
]
Подставим значения ( a ) и ( b ):
[
x_{max} = -\frac{0.128}{2 \cdot -0.00294} \approx 21.76 \approx 27%
]
Ответ:
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 27%.
