Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах
Для решения задачи, давайте обозначим переменные и поймем взаимосвязь между ними. У нас есть ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которую обозначим как \( x \) (в процентах), и поступления в бюджет, обозначенные как \( P \) (в миллиардах фантиков). Исходя из условий задачи, можно записать следующие данные:
- При \( x = 10\% \), \( P = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33\% \), \( P = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27\% \), \( P = 1.6 \) млрд фантиков.
Шаг 1: Запись функции зависимости
Согласно условию, приход налогов является квадратичной функцией от ставки налога. Мы можем записать это в следующем виде: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно будет определить.
Шаг 2: Система уравнений
Мы можем подставить известные значения в данную функцию. Получим систему из трёх уравнений.
Подставим в функцию \( x = 10 \): \[ P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \] или \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] (Уравнение 1)
Подставим в функцию \( x = 33 \): \[ P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \] или \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] (Уравнение 2)
Подставим в функцию \( x = 27 \): \[ P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \] или \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] (Уравнение 3)
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Чтобы упростить решение, вычтем из уравнений (2) и (3) уравнение (1):
Вычтем (1) из (2): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] Преобразуем: \[ 989a + 23b = 0 \quad (Уравнение 4) \]
Вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] Преобразуем: \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (Уравнение 5) \]
Теперь у нас есть две новые уравнения (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \) (4)
- \( 629a + 17b = 0.3 \) (5)
Шаг 4: Установление соотношений
Теперь выразим \( b \) через \( a \) из уравнения (4): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение в уравнение (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Преобразуем: \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \]
Умножим на 23 для избавления от дробей: \[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставим значение \( a \) обратно в \( b = -\frac{989}{23}a \): \[ b \approx -\frac{989}{23} \cdot -0.00294 \approx 0.128 \]
Шаг 5: Найти c
Подставим значения \( a \) и \( b \) в одно из оригинальных уравнений, чтобы найти \( c \): \[ 100(-0.00294) + 10(0.128) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.28 + c = 1.3 \] \[ c \approx 1.3 - 0.986 = 0.314 \]
Шаг 6: Получим уравнение
Теперь мы имеем уравнение: \[ P(x) = -0.00294x^2 + 0.128x + 0.314 \]
Шаг 7: Максимум функции
Максимум квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится в точке: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{max} = -\frac{0.128}{2 \cdot -0.00294} \approx 21.76 \approx 27\% \]
Ответ:
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 27%.
