Определи совершённую идеальным одноатомным газом работу по изменению его термодинамического состояния из 1 в 2, учитывая, что газ находится в замкнутом сосуде без теплообмена и…

Для решения данной задачи о работе, совершаемой идеальным одноатомным газом, нам нужно применить термодинамические уравнения. В данной задаче у нас есть предельные условия: газ находится в замкнутом сосуде без теплообмена (изолированный процесс), что означает, что это процесс адиабаты.

Шаг 1: Определим изменяющиеся параметры

Дано:

• Начальное давление \( p_1 = 18 \, \text{кПа} = 18000 \, \text{Па} \)
• Конечное давление \( p_2 = 4 \, \text{кПа} = 4000 \, \text{Па} \)
• Начальный объем \( V_1 = 2 \, \text{л} = 0.002 \, \text{м}^3 \)
• Конечный объем \( V_2 = 4 \, \text{л} = 0.004 \, \text{м}^3 \)

Шаг 2: Найдем работу, совершаемую газом

Работа, выполняемая газом при адиабатическом процессе, может быть рассчитана по формуле:

\[ W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV \]

Чтобы рассчитать работу, нужно знать, как давление \( P \) зависит от объема \( V \). Для адиабатического процесса идеального газа справедливо следующее уравнение:

\[ PV^\gamma = \text{const} \]

где \( \gamma \) (гамма) — показатель адиабаты, равный для одноатомного газа \( \gamma = \frac{5}{3} \).

Шаг 3: Запишем зависимость давления от объема

По начальным условиям:

\[ P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma} \]

Подставим значения давления и объемов в уравнение:

\[ 18000 \cdot (0.002)^{\frac{5}{3}} = 4000 \cdot (0.004)^{\frac{5}{3}} \]

Теперь найдем объемы в степени \( \frac{5}{3} \) и подставим их обратно в формулу для \( P \):

1. Для начального состояния:

   • \( (0.002)^{\frac{5}{3}} = 0.000047 = 4.7 \times 10^{-5} \)

2. Для конечного состояния:

   • \( (0.004)^{\frac{5}{3}} = 0.000189 = 1.89 \times 10^{-4} \)

Теперь мы можем найти соответствующее давление для \( V \):

Для \( V_1 \): \[ P_1 = \frac{const}{(0.002)^{\frac{5}{3}}} \]

Для \( V_2 \): \[ P_2 = \frac{const}{(0.004)^{\frac{5}{3}}} \]

Шаг 4: Расчёт работы

Находим, что работа в адиабатическом процессе может быть также выражена через изменение внутренней энергии системы, так как в изолированном процессе:

\[ W = -\Delta U \]

Или, используя термодинамическое уравнение:

\[ W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1} \]

Шаг 5: Подставляем значения

\[ W = \frac{18000 \cdot 0.002 - 4000 \cdot 0.004}{\frac{5}{3} - 1} \]

\[ W = \frac{36 - 16}{\frac{2}{3}} \]

\[ W = \frac{20}{\frac{2}{3}} = 30 \, \text{Дж} \]

Ответ

Работа, совершаемая идеальным газом, равна 30 Дж.