Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи нам нужно определить максимальную точку квадратичной функции, описывающей зависимость поступления налогов от ставки налога. Мы используем известные данные о поступлениях в бюджет при различных ставках налога.
Формулировка зависимостей: Мы будем использовать общую форму квадратичной функции: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \(P(x)\) – поступления в бюджет в зависимости от налоговой ставки \(x\) (в процентах).
Данные точки: У нас есть три точки, которые задают эту функцию:
- \(P(10) = 1.3\)
- \(P(33) = 1.3\)
- \(P(27) = 1.6\)
Запишем это в виде системы уравнений, подставляя значения в нашу функцию.
Запишем систему уравнений:
Подставляя первые два данных в уравнение, получим: \[ a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \quad (1) \] \[ a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \quad (2) \] Подставляя третью точку: \[ a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \quad (3) \]
Конкретно записывая: \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \] \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \] \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \]
Вычтем (1) из (2) и (1) из (3), чтобы избавиться от \(c\): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] Получаем: \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Затем вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] Получаем: \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Решим систему уравнений (4) и (5): Из (4) получим \(b = -43.087a\).
Подставим это в (5): \[ 629a + 17(-43.087a) = 0.3 \] Упрощаем: \[ 629a - 731.479a = 0.3 \] \[ -102.479a = 0.3 \implies a \approx -0.00293 \] Найдем \(b\): \[ b = -43.087 \times -0.00293 \approx 0.1263 \]
Находим \(c\), подставив в любое из уравнений. Например, в (1): \[ 100(-0.00293) + 10(0.1263) + c = 1.3 \] Решаем и находим значение \(c\).
Максимум функции: Для квадратичной функции, имеющей вид \(ax^2 + bx + c\), максимум (или минимум) достигается в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем значения \(a\) и \(b\): \[ x = -\frac{0.1263}{2 \times -0.00293} \approx 21.53 \]
Таким образом, максимально возможные поступления в бюджет Тридевятого царства от налогов на продажу сапогов-скороходов обеспечит ставка налога порядка 21.5%.
