Исследовать функцию y=2x²+1x

Чтобы исследовать функцию \( y = 2x^2 + 1x \), начнем с анализа ее свойств. Мы будем рассматривать такие аспекты, как: 1. **Область определения** 2. **Найдём производную и экстремумы** 3. **Найдем нули функции** 4. **Построим график функции** 5. **Исследуем поведение функции на бесконечности** ### 1. Область определения Функция \( y = 2x^2 + 1x \) является многочленом, и область определения многочленов - это все действительные числа. То есть: \[ D = (-\infty; +\infty) \] ### 2. Производная и экстремумы Чтобы найти экстремумы функции, вычислим её производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 1x) = 4x + 1 \] Теперь найдем, где производная равна нулю: \[ 4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4} \] Теперь определим, является ли это точка максимумом или минимумом, используя второй производной: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x^2 + 1x) = 4 \] Так как \( y'' > 0 \), то \( x = -\frac{1}{4} \) является минимумом функции. ### 3. Нули функции Чтобы найти нули функции, установим \( y = 0 \): \[ 2x^2 + 1x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(2x + 1) = 0 \] То есть, либо \( x = 0 \), либо \( 2x + 1 = 0 \). Решая второе уравнение: \[ 2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Таким образом, нули функции: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). ### 4. Построение графика функции - Минимум: \( x = -\frac{1}{4} \), значение функции в этой точке: \[ y(-\frac{1}{4}) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 1\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} = \frac{2}{16} - \frac{4}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8} \] - Нули функции: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). Мы можем построить график на основе найденных значений. ### 5. Поведение функции на бесконечности При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) ведет себя следующим образом: \[ y \to \infty \quad \text{(поскольку ведущий коэффициент положительный)} \] ### Итоги - Функция имеет минимум в точке \( x = -\frac{1}{4} \) и значение \( y = -\frac{1}{8} \). - Нули функции: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). - График функции убывает на интервале от \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \) и возрастает на интервале от \( (-\frac{1}{4}, \infty) \). Теперь вы можете построить график функции, используя эти данные!