x-y+z=4 5x-3y-2z=1 3x+2y-3z=-1
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x - y + z = 4 \)
- \( 5x - 3y - 2z = 1 \)
- \( 3x + 2y - 3z = -1 \)
давайте применим метод подстановки или метод исключения. В данном случае выберем метод подстановки, чтобы находить переменные по порядку.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другие
Начнем с первого уравнения:
\[ x - y + z = 4 \]
Из этого уравнения выразим \( z \):
\[ z = 4 - x + y \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( z \) во второе и третье уравнения
Теперь подставим полученное значение \( z \) в два других уравнения (2 и 3).
Подстановка в уравнение 2:
\[ 5x - 3y - 2(4 - x + y) = 1 \]
Раскроем скобки:
\[ 5x - 3y - 8 + 2x - 2y = 1 \]
Объединим подобные члены:
\[ (5x + 2x) + (-3y - 2y) - 8 = 1 \] \[ 7x - 5y - 8 = 1 \]
Переносим -8 на правую сторону:
\[ 7x - 5y = 9 \] (Уравнение 4)
Подстановка в уравнение 3:
Теперь подставим \( z \) в третье уравнение:
\[ 3x + 2y - 3(4 - x + y) = -1 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x + 2y - 12 + 3x - 3y = -1 \]
Объединим подобные члены:
\[ (3x + 3x) + (2y - 3y) - 12 = -1 \] \[ 6x - y - 12 = -1 \]
Переносим -12 на правую сторону:
\[ 6x - y = 11 \] (Уравнение 5)
Шаг 3: Решение новой системы уравнений
Теперь у нас есть новая система уравнений (4) и (5):
- \( 7x - 5y = 9 \)
- \( 6x - y = 11 \)
Теперь мы можем выразить \( y \) из второго уравнения:
\[ y = 6x - 11 \]
Шаг 4: Подставим значение \( y \) в уравнение 4
Подставим это значение в уравнение 4:
\[ 7x - 5(6x - 11) = 9 \]
Раскроем скобки:
\[ 7x - 30x + 55 = 9 \]
Объединим подобные члены:
\[ -23x + 55 = 9 \]
Переносим 55 на правую сторону:
\[ -23x = 9 - 55 \] \[ -23x = -46 \]
Разделим на -23:
\[ x = 2 \]
Шаг 5: Подставим значение \( x \) обратно в уравнение для \( y \)
Теперь подставим \( x = 2 \) в выражение для \( y \):
\[ y = 6(2) - 11 = 12 - 11 = 1 \]
Шаг 6: Подставим значения \( x \) и \( y \) для нахождения \( z \)
Теперь подставим \( x \) и \( y \) в уравнение для \( z \):
\[ z = 4 - x + y = 4 - 2 + 1 = 3 \]
Таким образом, мы получили:
\[ x = 2, \quad y = 1, \quad z = 3 \]
Ответ
Решение системы уравнений:
\[ (x, y, z) = (2, 1, 3) \]
Обсуждение
2 сообщенияРешить матричным методом
Чтобы решить систему уравнений с помощью матричного метода, необходимо записать данную систему в матричной форме:
Дано:
- \( x - y + z = 4 \)
- \( 5x - 3y - 2z = 1 \)
- \( 3x + 2y - 3z = -1 \)
Шаг 1: Записываем систему в матричной форме
Сначала мы можем выразить систему в виде \( AX = B \), где:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 5 & -3 & -2 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Находим обратную матрицу \( A^{-1} \)
Сначала найдем определитель матрицы \( A \):
\[ \text{det}(A) = 1 \cdot ((-3) \cdot (-3) - (-2) \cdot 2) - (-1)(5 \cdot (-3) - (-2) \cdot 3) + 1(5 \cdot 2 - (-3) \cdot 3) \]
Вычислим по частям:
Для первой части: \[ = 1 \cdot (9 - (-4)) = 1 \cdot (9 + 4) = 13 \]
Для второй части: \[ -(-1) \cdot (-15 + 6) = -(-1) \cdot (-9) = 9 \]
Для третьей части: \[ + 1 \cdot (10 + 9) = +1 \cdot 19 = 19 \]
Складываем все части:
\[ \text{det}(A) = 13 + 9 + 19 = 41 \]
Поскольку определитель не равен нулю, матрица обратима.
Теперь найдем обратную матрицу \( A^{-1} \) с помощью формулы:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
Сначала найдем матрицу алгебраических дополнений и затем матрицу сопряженных:
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} \]
Где \( C_{ij} \) - это определители матриц, полученных путем удаления i-й строки и j-го столбца.
Вычислим все элементы:
\( C_{11} = \text{det} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = (-3)(-3) - (-2)(2) = 9 - (-4) = 13 \)
\( C_{12} = -\text{det} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = -((5)(-3) - (-2)(3)) = -(-15 + 6) = 9 \)
\( C_{13} = \text{det} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = (5)(2) - (-3)(3) = 10 + 9 = 19 \)
\( C_{21} = -\text{det} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = -((-1)(-3) - (1)(2)) = -(3 - 2) = -1 \)
\( C_{22} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = (1)(-3) - (1)(3) = -3 - 3 = -6 \)
\( C_{23} = -\text{det} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = -((1)(2) - (-1)(3)) = -(2 + 3) = -5 \)
\( C_{31} = \text{det} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} = 2 - 3 = -1 \)
\( C_{32} = -\text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = -((1)(-2) - (1)(5)) = 2 + 5 = 7 \)
\( C_{33} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} = -3 + 5 = 2 \)
Собираем элементы обратно в матрицу:
\[ C = \begin{pmatrix} 13 & 9 & 19 \\ -1 & -6 & -5 \\ -1 & 7 & 2 \end{pmatrix} \]
Теперь транспонируем её для получения \( \text{adj}(A) \):
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 13 & -1 & -1 \\ 9 & -6 & 7 \\ 19 & -5 & 2 \end{pmatrix} \]
Теперь получим обратную матрицу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} 13 & -1 & -1 \\ 9 & -6 & 7 \\ 19 & -5 & 2 \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Находим решение системы
Теперь найдем вектор \( X = A^{-1}B \):
\[ X = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} 13 & -1 & -1 \\ 9 & -6 & 7 \\ 19 & -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Рассчитаем произведение матриц:
\[ X = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} 13 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \\ 9 \cdot 4 + (-6) \cdot 1 + 7 \cdot (-1) \\ 19 \cdot 4 + (-5) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} \]
Вычислим значения:
- \( 13 \cdot 4 - 1 + 1 = 52 - 1 + 1 = 52 \)
- \( 9 \cdot 4 - 6 - 7 = 36 - 6 - 7 = 23 \)
- \( 19 \cdot 4 - 5 - 2 = 76 - 5 - 2 = 69 \)
Таким образом, вектор \( X \):
\[ X = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} 52 \\ 23 \\ 69 \end{pmatrix} \]
Шаг 4: Запишем окончательный ответ
Теперь выполнить деление значений на 41:
\[ x = \frac{52}{41}, \quad y = \frac{23}{41}, \quad z = \frac{69}{41} \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ \left( x, y, z \right) = \left( \frac{52}{41}, \frac{23}{41}, \frac{69}{41} \right) \]
Этот метод является более сложным, чем прямое решение, но также очень полезным и во многих случаях применимым.
