Стрелок попадает в мишень при каждом отдельном выстреле с вероятностью 0,2. Он производит серию из шести выстрелов. Найдите вероятность того, что он промахнется ровно 3 раза.
Для решения данной задачи мы будем использовать формулу вероятности для биномиального распределения. В нашем случае стрелок делает 6 выстрелов, а вероятность попадания в мишень составляет 0,2 (или 20%). Вероятность промаха, соответственно, равна 1 - 0,2 = 0,8 (или 80%).
Шаг 1: Определение параметров задачи
У нас есть:
- Общее число выстрелов (n) = 6
- Вероятность попадания (p) = 0,2
- Вероятность промаха (q) = 1 - p = 0,8
- Количество промахов (k) = 3
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность получить ровно k успешных исходов (в нашем случае промахов) из n испытаний можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае промах)
- \( q \) — вероятность неудачи (попадания)
Шаг 3: Подставляем значения
- Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(6, 3) \):
\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot q^3 \cdot p^{6-3} \]
Подставляем \( q = 0,8 \) и \( p = 0,2 \):
\[ P(X = 3) = 20 \cdot (0,8^3) \cdot (0,2^3) \]
Шаг 4: Расчет вероятностей
Теперь вычислим каждый компонент:
- \( 0,8^3 = 0,512 \)
- \( 0,2^3 = 0,008 \)
Теперь подставляем результаты:
\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0,512 \cdot 0,008 \]
Шаг 5: Умножение
Теперь умножаем:
\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0,512 \cdot 0,008 = 20 \cdot 0,004096 = 0,08192 \]
Шаг 6: Ответ
Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется ровно 3 раза при 6 выстрелах, составляет приблизительно 0,08192 или 8,192%.
Это и есть ответ на поставленную задачу. Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим задачам, будут рады помочь!
