угол между векторами, скалярное произведение векторов, скалярное произведение в координатах, свойства скалярного произведения векторов краткий конспект

Чтобы понять основные концепции, связанные с углом между векторами и скалярным произведением, мы рассмотрим эти элементы подробно.

1. Угол между векторами

Пусть у нас есть два вектора A и B. Угол между ними обозначается как \( \theta \). Он может быть найден с помощью следующей формулы:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|} \]

где:

• \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\mathbf{A}| \) и \( |\mathbf{B}| \) — длины (модули) векторов A и B соответственно.

2. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов A и B определяется как:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y \]

где:

• \( A_x \) и \( A_y \) — компоненты вектора A,
• \( B_x \) и \( B_y \) — компоненты вектора B.

Если векторы имеют три компоненты (в 3D пространстве), расширенная формула будет выглядеть так:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \]

3. Скалярное произведение в координатах

Если векторы заданы в координатах, например:

• \( \mathbf{A} = (x_1, y_1, z_1) \),
• \( \mathbf{B} = (x_2, y_2, z_2) \),

тогда скалярное произведение можно вычислить по формуле:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \]

4. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает следующими важными свойствами:

1. Коммутативность: \[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \]

2. Ассоциативность: \[ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} \]

3. Линейность: \[ (k\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} = k(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}), \quad (g \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} = g(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}), \] где \( k \) и \( g \) — скаляры.

4. Ненулевость: \[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = |\mathbf{A}|^2 \geq 0 \] и равно нулю только в том случае, если сам вектор равен нулю.

5. Угол между векторами: Скалярное произведение также может быть использовано для вычисления угла между векторами, как мы уже упоминали: \[ \theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|}\right) \]

Пример

Рассмотрим два вектора \( \mathbf{A} = (3, 4) \) и \( \mathbf{B} = (4, -3) \).

1. Вычислим скалярное произведение: \[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0 \] Поскольку скалярное произведение равно нулю, это указывает на то, что векторы перпендикулярны друг другу (\( \theta = 90^\circ \)).

2. Вычислим длины векторов: \[ |\mathbf{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\mathbf{B}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

3. Подставим в формулу угла: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 \Rightarrow \theta = \arccos(0) = 90^\circ \]

Таким образом, мы увидели, как вычисляется угол между векторами, используя скалярное произведение и его свойства.