Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи нам нужно определить, какая налоговая ставка приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства от налога на продажу сапогов-скороходов. Дадим подробное объяснение, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Формулировка уравнения
Как указано в задаче, зависимость налоговых поступлений \( R \) от налоговой ставки \( x \) описывается квадратичной функцией:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( a \), \( b \), и \( c \) — константы, которые нужно определить.
Шаг 2: Запись известных данных
Согласно заданной информации, у нас есть три точки, которые мы можем использовать для построения системы уравнений:
- При \( x = 10 \) (10%) поступления \( R(10) = 1,3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33 \) (33%) поступления \( R(33) = 1,3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27 \) (27%) поступления \( R(27) = 1,6 \) млрд фантиков.
Теперь мы можем записать систему уравнений:
\[ \begin{align*} 1) & \quad a(10^2) + b(10) + c = 1,3 \\ 2) & \quad a(33^2) + b(33) + c = 1,3 \\ 3) & \quad a(27^2) + b(27) + c = 1,6 \\ \end{align*} \]
Шаг 3: Подстановка значений
Теперь мы подставим значения:
- \( 100a + 10b + c = 1,3 \) (уравнение 1)
- \( 1089a + 33b + c = 1,3 \) (уравнение 2)
- \( 729a + 27b + c = 1,6 \) (уравнение 3)
Шаг 4: Выразим \( c \)
Из уравнения 1 мы можем выразить \( c \):
\[ c = 1,3 - 100a - 10b \]
Шаг 5: Подстановка в оставшиеся уравнения
Теперь подставим выражение для \( c \) в уравнения 2 и 3.
Для уравнения 2:
\[ 1089a + 33b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(Уравнение 4)} \]
Для уравнения 3:
\[ 729a + 27b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,6 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad \text{(Уравнение 5)} \]
Шаг 6: Решим систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4 и 5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Умножим уравнение 4 на 17 и уравнение 5 на 23, чтобы избавиться от \( b \):
\[ \begin{align*} (989a + 23b) \cdot 17 & \Rightarrow 16813a + 391b = 0 \\ (629a + 17b) \cdot 23 & \Rightarrow 14467a + 391b = 0 \\ \end{align*} \]
Теперь вычтем эти два уравнения:
\[ 16813a - 14467a = 0 \Rightarrow 2346a = 0 \Rightarrow a = 0 \]
Шаг 7: Найдем \( b \) и \( c \)
Если \( a = 0 \), нам нужно подставить в уравнения:
Из (4):
\[ 23b = 0 \Rightarrow b = 0 \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) обратно в уравнение для \( c \):
\[ c = 1,3 \]
Таким образом, функция выглядит следующим образом:
\[ R(x) = 1,3 \]
Шаг 8: Определение максимума
Поскольку функция является константой (линейной), максимальные поступления будут одинаковыми при любых значениях ставки. Однако, поскольку у нас есть данные о повышении по мере изменения ставки, нам нужно использовать данные, которые приводят к максимальным поступлениям, чтобы найти экстремум.
Итог
Наиболее полное значение — это ставка налога \( x = 27\%\).
Таким образом, конечный ответ:
Максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, при которой поступления в бюджет будут максимальными, составляет 27%.
