Решить

Для данной задачи у нас есть уже одно уравнение: \(3x - 2y = 1\). Необходимо подобрать второе уравнение системы, чтобы:

а) Имела единственное решение.

б) Не имела решений.

в) Имела бесконечное множество решений.

Рассмотрим каждую ситуацию:

a) Единственное решение

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если её графики (прямые на координатной плоскости) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда прямые не параллельны. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты при \(x\) и \(y\) во втором уравнении не были пропорциональны коэффициентам в первом.

Пример подходящего второго уравнения: \(x + y = 2\).

Система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} \]

b) Нет решений

Система не имеет решений, если графики уравнений — параллельные, но не совпадают. Это значит, что коэффициенты при \(x\) и \(y\) во втором уравнении пропорциональны, но свободные члены разные.

Пример подходящего второго уравнения: \(6x - 4y = 3\).

Система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 6x - 4y = 3 \end{cases} \]

c) Бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это происходит, когда второе уравнение является произведением первого на некоторое число.

Пример подходящего второго уравнения: \(6x - 4y = 2\).

Система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases} \]

Таким образом, для каждого случая можно подобрать соответствующее второе уравнение, основываясь на свойствах коэффициентов и их пропорциональности.