3x+y=2 x+2y=-6
Для решения системы линейных уравнений:
- \(3x + y = 2\)
- \(x + 2y = -6\)
мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.
Шаг 1: Изолируем одну из переменных
Из первого уравнения \(3x + y = 2\) выразим \(y\):
\[ y = 2 - 3x \]
Шаг 2: Подставим найденное значение в другое уравнение
Теперь мы подставим это выражение \(y = 2 - 3x\) во второе уравнение \(x + 2y = -6\):
\[ x + 2(2 - 3x) = -6 \]
Шаг 3: Раскрываем скобки
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ x + 4 - 6x = -6 \]
Соберем все элементы с \(x\):
\[ 4 - 5x = -6 \]
Шаг 4: Переносим свободные члены
Переносим 4 на правую сторону:
\[ -5x = -6 - 4 \]
\[ -5x = -10 \]
Шаг 5: Решаем для \(x\)
Делим обе стороны на -5:
\[ x = 2 \]
Шаг 6: Находим \(y\)
Теперь, когда мы знаем значение \(x\), подставим его обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = 2 - 3(2) \]
\[ y = 2 - 6 \]
\[ y = -4 \]
Шаг 7: Решение системы уравнений
Мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\[ x = 2, \quad y = -4 \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ (x, y) = (2, -4) \]
Проверка
Теперь проверим найденные значения, подставив их обратно в оба уравнения.
Для первого уравнения:
\[ 3(2) + (-4) = 6 - 4 = 2 \quad \text{(верно)} \]
Для второго уравнения:
\[ 2 + 2(-4) = 2 - 8 = -6 \quad \text{(верно)} \]
Оба уравнения верны, значит, решение корректно.
Обсуждение
2 сообщениярешить графически
Чтобы решить систему уравнений графически, нам нужно изобразить оба уравнения на координатной плоскости, а затем найти точку их пересечения.
Первое уравнение:
\(3x + y = 2\)
Перепишем его в форме \(y = mx + b\):\[ y = -3x + 2 \]
Это линия с угловым коэффициентом \(-3\) и y-пересечением \(2\).
Второе уравнение:
\(x + 2y = -6\)
Перепишем и выразим \(y\):\[ 2y = -x - 6 \implies y = -\frac{1}{2}x - 3 \]
Это линия с угловым коэффициентом \(-\frac{1}{2}\) и y-пересечением \(-3\).
Шаги построения графиков:
Построение первого уравнения \(y = -3x + 2\):
- Найдем точки:
- Если \(x = 0\): \(y = 2\) (точка \( (0, 2) \))
- Если \(x = 1\): \(y = -3(1) + 2 = -1\) (точка \( (1, -1) \))
- Если \(x = -1\): \(y = -3(-1) + 2 = 5\) (точка \( (-1, 5) \))
- Найдем точки:
Построение второго уравнения \(y = -\frac{1}{2}x - 3\):
- Найдем точки:
- Если \(x = 0\): \(y = -3\) (точка \( (0, -3) \))
- Если \(x = 2\): \(y = -\frac{1}{2}(2) - 3 = -4\) (точка \( (2, -4) \))
- Если \(x = -2\): \(y = -\frac{1}{2}(-2) - 3 = -2\) (точка \( (-2, -2) \))
- Найдем точки:
Построение графиков
- Рисуем координатную ось.
- Откладываем найденные точки для каждого уравнения и проводим линии.
Пересечение
Точка пересечения двух линий - это и есть решение системы уравнений. На графике вы увидите, что линия из первого уравнения и линия из второго уравнения пересекаются в точке, координаты которой мы ранее нашли:
\[ (x, y) = (2, -4) \]
Таким образом, графическое решение системы уравнений подтверждает, что \(x = 2\) и \(y = -4\).
