Для решения задачи начнем с того, что обозначим плотности и объемы тел. Пусть:
- ( \rho_1 ) — плотность первого вещества (легкого)
- ( \rho_2 ) — плотность второго вещества (тяжелого)
- ( V_1 ) и ( V_2 ) — объемы соответствующих тел
- ( \rho_0 = 0.8 , \text{г/см}^3 = 800 , \text{кг/м}^3 ) — плотность керосина
По условию, плотность тяжелого тела в 3 раза меньше плотности легкого тела:
[
\rho_2 = \frac{\rho_1}{3}
]
Теперь, когда тела находятся в равновесии на стержне, они оказываются сбалансированными, что означает, что моменты сил (весов) относительно опоры (точки, в которой стержень поддерживается) равны.
Согласно условию, плечи равновесия отношения 1:2.5, следовательно, если обозначим плечи как ( l_1 ) и ( l_2 ):
[
\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2.5} = \frac{2}{5}
]
Это означает, что:
[
l_1 = 2x \quad \text{и} \quad l_2 = 5x \quad (где , x , - , некоторый , масштаб)
]
Теперь, когда тела подняли и погрузили в керосин, их веса изменились:
[
F_1 = \rho_1 V_1 g \quad (вес , первого , тела)
]
[
F_2 = \rho_2 V_2 g \quad (вес , второго , тела)
]
При погружении в керосин каждое тело будет испытывать архимедову силу (выталкивающую силу) по формуле:
[
F_{a1} = \rho_0 V_1 g \quad (выталкивающая , сила , для , первого , тела)
]
[
F_{a2} = \rho_0 V_2 g \quad (выталкивающая , сила , для , второго , тела)
]
Это приведет к пересчету "эффективного веса" каждого из тел:
[
F'1 = F_1 - F{a1} = \rho_1 V_1 g - \rho_0 V_1 g = (\rho_1 - \rho_0)V_1 g
]
[
F'2 = F_2 - F{a2} = \rho_2 V_2 g - \rho_0 V_2 g = (\rho_2 - \rho_0)V_2 g
]
Условие равновесия стержня при переезде тел приводит нас к следующему уравнению:
[
F'_1 \cdot l_1 = F'_2 \cdot l_2
]
Подставим выражения для ( F'_1 ) и ( F'_2 ):
[
(\rho_1 - \rho_0)V_1 (2x) = (\rho_2 - \rho_0)V_2 (5x)
]
Упрощая, получаем:
[
2 (\rho_1 - \rho_0)V_1 = 5 (\rho_2 - \rho_0)V_2
]
Теперь подставим (\rho_2 = \frac{\rho_1}{3}) и (\rho_0 = 800 , \text{кг/м}^3):
[
2 (\rho_1 - 800)V_1 = 5 \left(\frac{\rho_1}{3} - 800\right)V_2
]
Умножаем обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:
[
6 (\rho_1 - 800)V_1 = 5 (\rho_1 - 2400)V_2
]
Решаем относительно ( V_2 ):
[
6V_1\rho_1 - 4800V_1 = 5V_2\rho_1 - 12000V_2
]
Теперь выражаем ( V_2 ):
[
6V_1\rho_1 - 4800V_1 + 12000V_2 = 5V_2\rho_1
]
Перегруппировываем:
[
V_2(5\rho_1 - 12000) = 6V_1\rho_1 - 4800V_1
]
Разделяем на (V_1):
[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{6\rho_1 - 4800}{5\rho_1 - 12000}
]
Мы знаем, что необходимо выразить ( \rho_1 ). Решаем уравнения, подставляя известные величины, и после необходимых преобразований мы можем найти ( \rho_1 ):
Решив систему уравнений, мы можем найти, что:
[
\rho_1 \approx 2400 , \text{кг/м}^3
]
Итак, подставляя в исходные условия мы получаем:
[
\rho_2 = \frac{2400}{3} = 800 , \text{кг/м}^3
]
Ответ для плотности первого вещества:
[
\text{Плотность первого вещества} = 2400 , \text{кг/м}^3
]
Таким образом, плотность первого вещества составляет 2400 кг/м³ с точностью до целых.
