x√1/x-1=x/2
Чтобы решить уравнение \( x\sqrt{\frac{1}{x}} - 1 = \frac{x}{2} \), давайте сначала упростим его и затем найдем значение \( x \).
Шаг 1: Упростим левую часть уравнения
У нас есть выражение \( x\sqrt{\frac{1}{x}} \). Мы можем переписать это следующим образом:
\[ x\sqrt{\frac{1}{x}} = x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[ \sqrt{x} - 1 = \frac{x}{2} \]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\[ \sqrt{x} = \frac{x}{2} + 1 \]
Шаг 3: Возведем обе стороны в квадрат
Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{x}{2} + 1\right)^2 \]
Это дает:
\[ x = \left(\frac{x}{2} + 1\right)\left(\frac{x}{2} + 1\right) \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Раскроем правую часть:
\[ x = \left(\frac{x^2}{4} + x + 1\right) \]
Шаг 5: Переносим все в одну сторону
Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
\[ x - \left(\frac{x^2}{4} + x + 1\right) = 0 \]
Упростим это:
\[ x - \frac{x^2}{4} - x - 1 = 0 \]
Это можно записать как:
\[ -\frac{x^2}{4} - 1 = 0 \rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 = 0 \]
Шаг 6: Умножим на -4
Умножим на -4 для удобства:
\[ x^2 + 4 = 0 \]
Шаг 7: Найдем корни уравнения
Это уравнение \( x^2 + 4 = 0 \) не имеет действительных корней, так как \( x^2 = -4 \), что дает комплексные корни:
\[ x = \pm 2i \]
Ответ
Таким образом, у уравнения \( x\sqrt{\frac{1}{x}} - 1 = \frac{x}{2} \) есть два комплексных решения:
\[ x = 2i \quad \text{и} \quad x = -2i \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужны дополнительные разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
