(2-3x)(2+3x)²+3x(3x-1)(3x+1)=x
Давайте решим уравнение \( (2-3x)(2+3x)^2 + 3x(3x-1)(3x+1) = x \) шаг за шагом.
Шаг 1: Упрощение левой части уравнения
Начнем с упрощения левой части уравнения:
Раскроим скобки в первой части: \( (2-3x)(2+3x)^2 \)
Для начала найдем \( (2 + 3x)^2 \): \[ (2 + 3x)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2 = 4 + 12x + 9x^2 = 9x^2 + 12x + 4 \]
Подставим это значение обратно: \[ (2 - 3x)(9x^2 + 12x + 4) \]
Теперь раскроем скобки: \[ = 2 \cdot (9x^2 + 12x + 4) - 3x \cdot (9x^2 + 12x + 4) \]
Перемножим: \[ = (18x^2 + 24x + 8) - (27x^3 + 36x^2 + 12x) \]
Объединим подобные члены: \[ = -27x^3 + (18x^2 - 36x^2) + (24x - 12x) + 8 = -27x^3 - 18x^2 + 12x + 8 \]
Теперь упростим вторую часть: \( 3x(3x - 1)(3x + 1) \)
Для начала найдем \( (3x - 1)(3x + 1) \): \[ (3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1 \]
Подставим это значение обратно: \[ 3x(9x^2 - 1) = 27x^3 - 3x \]
Шаг 2: Объединяем обе части
Теперь объединим обе части: \[ -27x^3 - 18x^2 + 12x + 8 + 27x^3 - 3x = x \]
Сложим подобные члены: \[ (-27x^3 + 27x^3) + (-18x^2) + (12x - 3x) + 8 = x \] \[ -18x^2 + 9x + 8 = x \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Переносим все на одну сторону уравнения: \[ -18x^2 + 9x + 8 - x = 0 \] \[ -18x^2 + 8x + 8 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента: \[ 18x^2 - 8x - 8 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь можем применять формулу для решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 18, b = -8, c = -8 \).
Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-8) = 64 + 576 = 640 \]
Теперь найдём корни: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 18} \]
Упростим корень: \[ \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10} \]
Теперь подставляем: \[ x = \frac{8 \pm 8\sqrt{10}}{36} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{9} \]
Итог:
Мы нашли два корня: \[ x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{9} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{9} \]
Это решение уравнения. Нужно помнить, что перед проверкой корней, особенно в более сложных уравнениях, стоит убедиться, что найденные значения подходят в изначальное уравнение!
