Реши уравнение 9x2+24x+16=(x+2)29x2+24x+16=(x+2)2 .
Для решения уравнения \( 9x^2 + 24x + 16 = (x + 2)^2 \) сначала упростим правую часть уравнения.
Раскроем скобки на правой стороне: \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]
Перепишем уравнение, подставив это выражение: \[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 + 4x + 4 \]
Переносим всё на одну сторону уравнения. Для этого вычтем правую часть из левой: \[ 9x^2 + 24x + 16 - x^2 - 4x - 4 = 0 \]
Сложим подобные члены: \[ (9x^2 - x^2) + (24x - 4x) + (16 - 4) = 0 \] \[ 8x^2 + 20x + 12 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ 8x^2 + 20x + 12 = 0 \]
Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 8\), \(b = 20\), \(c = 12\).
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 8 \cdot 12 \] \[ D = 400 - 384 = 16 \]
Дискриминант положительный, значит, у нас два разных корня. Рассчитаем их: \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 8} \] \[ x = \frac{-20 \pm 4}{16} \]
Вычислим корни:
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{-20 + 4}{16} = \frac{-16}{16} = -1 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{-20 - 4}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2} \]
Ответ: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -\frac{3}{2} \]
Таким образом, уравнение \( 9x^2 + 24x + 16 = (x + 2)^2 \) имеет два решения: \( x = -1 \) и \( x = -\frac{3}{2} \).
