Разложите на множители: (3c⁶-2c³-5)/(-6c⁶+13c³-5)

Рассмотрим задачу разложения на множители выражения: \[ \frac{3c^6 - 2c^3 - 5}{-6c^6 + 13c^3 - 5} \] ### Шаг 1: Разложим числитель Начнем с числителя \(3c^6 - 2c^3 - 5\). Применим метод разложения на множители, выделяя общий множитель или используя формулу, которая подходит для нашего случая. Посмотрим на возможные корни. Мы можем попробовать подобрать корни методом подбора. Для более простого анализа давайте заменим \(c^3\) на новую переменную \(x\): \[ 3x^2 - 2x - 5 \] Теперь попробуем найти корни с помощью дискриминанта: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \] Так как дискриминант больше нуля, мы можем найти два корня: \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Таким образом, у нас есть \(x_1 = \frac{5}{3}\) и \(x_2 = -1\). Теперь вернемся к переменной \(c^3\): \[ c^3 - \frac{5}{3} = 0 \implies c^3 = \frac{5}{3} \] или \[ c^3 + 1 = 0 \implies c^3 = -1 \] ### Шаг 2: Разложим знаменатель Теперь рассмотрим знаменатель \(-6c^6 + 13c^3 - 5\). Заменив \(c^3\) на \(x\), мы получаем: \[ -6x^2 + 13x - 5 \] Находим его дискриминант: \[ D = 13^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-5) = 169 - 120 = 49 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{49}}{-12} = \frac{-13 + 7}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-13 - \sqrt{49}}{-12} = \frac{-13 - 7}{-12} = \frac{-20}{-12} = \frac{5}{3} \] В итоге, \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{5}{3}\), значит: \[ -6x^2 + 13x - 5 = -6(x - \frac{1}{2})(x - \frac{5}{3}) \] ### Шаг 3: Объединение результатов Теперь мы можем выразить результат в виде: \[ \frac{3c^6 - 2c^3 - 5}{-6c^6 + 13c^3 - 5} = \frac{3(c^3 - \frac{5}{3})(c^3 + 1)}{-6(-6)(c^3 - \frac{1}{2})(c^3 - \frac{5}{3})} \] ### Шаг 4: Упрощение Поскольку \(c^3 - \frac{5}{3}\) присутствует и в числителе, и в знаменателе, мы можем их сократить. Получим: \[ \frac{3(c^3 + 1)}{-6(c^3 - \frac{1}{2})} \] Итак, окончательно: \[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{c^3 + 1}{c^3 - \frac{1}{2}} \] ### Ответ Таким образом, разложение на множители нашего выражения выглядит как: \[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{c^3 + 1}{c^3 - \frac{1}{2}} \] Это и есть окончательный ответ.