Постройте график функции у=| x-2| -2. Определите, при каких значениях т прямая у= т имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения этой задачи начнем с анализа функции \( y = |x - 2| - 2 \) и постройки ее графика.

Шаг 1: Построение графика функции

Функция \( y = |x - 2| \) представляет собой V-образную фигуру, вершина которой находится в точке \( (2, 0) \). Поскольку мы вычитаем 2, это сдвигает график вниз на 2 единицы.

1. Вершина: Вершина графика функции \( y = |x-2| - 2 \) будет в точке \( (2, -2) \).
2. Угол наклона: Она будет иметь положительный наклон для \( x \geq 2 \) и отрицательный для \( x < 2 \).

Теперь можем определить два отрезка:

• Для \( x < 2 \): \[ y = -(x - 2) - 2 = -x + 2 - 2 = -x \]

• Для \( x \geq 2 \): \[ y = (x - 2) - 2 = x - 2 - 2 = x - 4 \]

Таким образом, график функции можно описать следующим образом:

• \( y = -x \) при \( x < 2 \)
• \( y = x - 4 \) при \( x \geq 2 \)

Шаг 2: Построение графика

Теперь можем построить график:

• Для отрезка \( y = -x \) (при \( x < 2 \)):

  • Точка при \( x = 0 \): \( y = -0 = 0 \) (точка (0,0))
  • Точка при \( x = 2 \): \( y = -2 \) (точка (2,-2))

• Для отрезка \( y = x - 4 \) (при \( x \geq 2 \)):

  • Точка при \( x = 2 \): \( y = -2 \) (та же точка (2,-2))
  • Точка при \( x = 6 \): \( y = 2 \) (точка (6,2))

Теперь мы можем нарисовать график, соединяя эти точки.

Шаг 3: Определение значений t для двух общих точек

Теперь нам нужно выяснить, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) пересекает график функции ровно в двух точках.

1. Параллельно оси X: Прямая будет горизонтальной. На графике видно, что:
   • \( y = -x \) и \( y = x - 4 \).
2. Пересечения:
   • Прямая \( y = t \) пересечет \( y = -x \) в одной точке, если \( t > 0 \) (где \( x < 2 \)).
   • Прямая \( y = t \) пересечет \( y = x - 4 \) в одной точке, если \( t < 2 \) (где \( x \geq 2 \)).

Шаг 4: Условия для двух пересечений

Таким образом, для того чтобы прямая \( y = t \) имела ровно две общие точки с графиком функции:

• Она должна быть ниже точки пересечения вершин (то есть, ниже -2), чтобы пересечь две ветви V-образной функции.

Таким образом, итоговое условие: \[ t < -2 \]

Ответ

Прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции \( y = |x - 2| - 2 \) при значениях \( t < -2 \).