Постройте график функции у=| x-2| -2. Определите, при каких значениях т прямая у= т имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения этой задачи начнем с анализа функции \( y = |x - 2| - 2 \) и постройки ее графика. ### Шаг 1: Построение графика функции Функция \( y = |x - 2| \) представляет собой V-образную фигуру, вершина которой находится в точке \( (2, 0) \). Поскольку мы вычитаем 2, это сдвигает график вниз на 2 единицы. 1. **Вершина**: Вершина графика функции \( y = |x-2| - 2 \) будет в точке \( (2, -2) \). 2. **Угол наклона**: Она будет иметь положительный наклон для \( x \geq 2 \) и отрицательный для \( x < 2 \). Теперь можем определить два отрезка: - Для \( x < 2 \): \[ y = -(x - 2) - 2 = -x + 2 - 2 = -x \] - Для \( x \geq 2 \): \[ y = (x - 2) - 2 = x - 2 - 2 = x - 4 \] Таким образом, график функции можно описать следующим образом: - \( y = -x \) при \( x < 2 \) - \( y = x - 4 \) при \( x \geq 2 \) ### Шаг 2: Построение графика Теперь можем построить график: - Для отрезка \( y = -x \) (при \( x < 2 \)): - Точка при \( x = 0 \): \( y = -0 = 0 \) (точка (0,0)) - Точка при \( x = 2 \): \( y = -2 \) (точка (2,-2)) - Для отрезка \( y = x - 4 \) (при \( x \geq 2 \)): - Точка при \( x = 2 \): \( y = -2 \) (та же точка (2,-2)) - Точка при \( x = 6 \): \( y = 2 \) (точка (6,2)) Теперь мы можем нарисовать график, соединяя эти точки. ### Шаг 3: Определение значений t для двух общих точек Теперь нам нужно выяснить, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) пересекает график функции ровно в двух точках. 1. **Параллельно оси X**: Прямая будет горизонтальной. На графике видно, что: - \( y = -x \) и \( y = x - 4 \). 2. **Пересечения**: - Прямая \( y = t \) пересечет \( y = -x \) в одной точке, если \( t > 0 \) (где \( x < 2 \)). - Прямая \( y = t \) пересечет \( y = x - 4 \) в одной точке, если \( t < 2 \) (где \( x \geq 2 \)). ### Шаг 4: Условия для двух пересечений Таким образом, для того чтобы прямая \( y = t \) имела ровно две общие точки с графиком функции: - Она должна быть ниже точки пересечения вершин (то есть, ниже -2), чтобы пересечь две ветви V-образной функции. Таким образом, итоговое условие: \[ t < -2 \] ### Ответ Прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции \( y = |x - 2| - 2 \) при значениях \( t < -2 \).