Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 399 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние до пункта назначения: \( L = 399 \) км
• Скорость теплохода в неподвижной воде: \( V_{boat} = 20 \) км/ч
• Длительность стоянки: \( T_{stop} = 2 \) часа
• Общее время от отправления до возвращения в пункт отправления: \( T_{total} = 42 \) часа

Задача:

Найти скорость течения реки (обозначим ее как \( V_{current} \)).

Решение:

1. Определим время в пути по течению: Скорость теплохода по течению будет равна скорости теплохода в неподвижной воде плюс скорость течения: \[ V_{down} = V_{boat} + V_{current} = 20 + V_{current} \] Время, затраченное на путь до пункта назначения: \[ T_{down} = \frac{L}{V_{down}} = \frac{399}{20 + V_{current}} \]

2. Определим время в пути против течения: Скорость теплохода против течения будет равна скорости теплохода в неподвижной воде минус скорость течения: \[ V_{up} = V_{boat} - V_{current} = 20 - V_{current} \] Время, затраченное на обратный путь: \[ T_{up} = \frac{L}{V_{up}} = \frac{399}{20 - V_{current}} \]

3. Составим уравнение для совокупного времени: Общее время будет равно времени в пути по течению плюс время в пути против течения плюс время стоянки: \[ T_{total} = T_{down} + T_{up} + T_{stop} \] Подставим известные значения: \[ 42 = \frac{399}{20 + V_{current}} + \frac{399}{20 - V_{current}} + 2 \] Упростим уравнение, вычитая 2 из обеих сторон: \[ 40 = \frac{399}{20 + V_{current}} + \frac{399}{20 - V_{current}} \]

4. Объединим дроби: Умножим обе части уравнения на \((20 + V_{current})(20 - V_{current})\): \[ 40(20 + V_{current})(20 - V_{current}) = 399(20 - V_{current}) + 399(20 + V_{current}) \] Упростим правую часть: \[ 7990(20^2 - V_{current}^2) = 399 \cdot 20 - 399 V_{current} + 399 \cdot 20 + 399 V_{current} \] Упростим: \[ 40(400 - V_{current}^2) = 15960 \] Разделим обе части на 40: \[ 400 - V_{current}^2 = 399 \]

5. Решим уравнение: Упростим это уравнение: \[ V_{current}^2 = 400 - 399 = 1 \] Следовательно, \[ V_{current} = 1 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Скорость течения реки \( V_{current} = 1 \) км/ч.