В треугольнике M N K MNK ∠ M = 90 ° ∠M=90° , ∠ N = 60 ° ∠N=60° , M K = 8 3 MK=8 3 . Чему равна сторона M N MN
В треугольнике MNK у нас есть следующий набор данных:
- ∠M = 90°, то есть треугольник является прямоугольным.
- ∠N = 60°.
- MK = 8 (это сторона, противолежащая углу N, т.е. сторона, напротив угла 60°).
Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти длину стороны MN.
Определим угол K:
В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180°. Мы можем найти угол K следующим образом: \[ ∠K = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 90° - 60° = 30°. \]
Таким образом, мы имеем следующие углы у нашего треугольника:
- ∠M = 90°,
- ∠N = 60°,
- ∠K = 30°.
- Используем тригонометрические функции:
В прямоугольном треугольнике с известными углами и одной стороной мы можем использовать соотношения тригонометрии. В частности, для угла N (60°) и стороны MK (противолежащей углу N), можно использовать:
\(\sin(60°) = \frac{\text{противолежащая стороны}}{\text{гипотенуза}}\).
В данном случае, гипотенуза – это сторона MN: \[ \sin(60°) = \frac{MK}{MN}. \]
Подставляем известные значения: \[ \sin(60°) = \frac{8}{MN}. \]
- Значение синуса:
Знаем, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{MN}. \]
- Решаем уравнение:
Теперь можем выразить MN: \[ MN = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}. \]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ MN = \frac{16 \sqrt{3}}{3}. \]
Таким образом, длина стороны MN равна \(\frac{16 \sqrt{3}}{3}\).
