(4x-5)²=14x²-4x+34

Решим уравнение \((4x-5)²=14x²-4x+34\) пошагово.

Шаг 1: Раскроем скобки

Начнем с левой части уравнения: \[(4x - 5)² = (4x)² - 2 \cdot (4x) \cdot 5 + 5²\] \[= 16x² - 40x + 25\]

Теперь у нас есть уравнение: \[16x² - 40x + 25 = 14x² - 4x + 34\]

Шаг 2: Приведем все элементы уравнения к одной стороне

Переносим все элементы из правой части в левую: \[16x² - 40x + 25 - 14x² + 4x - 34 = 0\]

Теперь упрощаем: \[(16x² - 14x²) + (-40x + 4x) + (25 - 34) = 0\] \[2x² - 36x - 9 = 0\]

Шаг 3: Упростим уравнение

Теперь мы можем упростить уравнение, но сначала сделаем так, чтобы у нас не было дробных значений. Для это разделим все выражение на 1 (что не изменит уравнение): \[2x² - 36x - 9 = 0\]

Шаг 4: Применим формулу дискриминанта

Теперь решим квадратное уравнение \(ax² + bx + c = 0\) с помощью дискриминанта \(D\): \[D = b² - 4ac\] где \(a = 2\), \(b = -36\), \(c = -9\).

Посчитаем \(D\): \[D = (-36)² - 4 \cdot 2 \cdot (-9)\] \[= 1296 + 72 = 1368\]

Шаг 5: Найдем корни уравнения

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] подставим наши значения: \[x = \frac{36 \pm \sqrt{1368}}{4}\]

Шаг 6: Упростим \(\sqrt{1368}\)

Вынесем из под корня: \[\sqrt{1368} = \sqrt{4 \times 342} = 2\sqrt{342}\]

Шаг 7: Найдем окончательные корни

Теперь подставляем это значение назад в формулу: \[x = \frac{36 \pm 2\sqrt{342}}{4}\] \[= \frac{36}{4} \pm \frac{2\sqrt{342}}{4}\] \[= 9 \pm \frac{\sqrt{342}}{2}\]

Заключение

Таким образом, окончательные корни уравнения: \[x_1 = 9 + \frac{\sqrt{342}}{2}\] \[x_2 = 9 - \frac{\sqrt{342}}{2}\]

Теперь вы можете использовать эти формулы для поиска численных значений корней, если это необходимо. Если есть вопросы по конкретным шагам решения, не стесняйтесь спрашивать!