Решим задачу шаг за шагом, находя коэффициенты (a), (b) и (c) для параболы (y = ax^2 + bx + c), которая имеет вершину в точке (M(-1, -7)) и пересекает ось ординат в точке (N(0, -4)).
Шаг 1: Записываем уравнение параболы
Общее уравнение параболы имеет вид:
[
y = ax^2 + bx + c.
]
Шаг 2: Используем координаты точки N(0, -4)
Точка (N(0, -4)) означает, что когда (x = 0), (y) должен равняться (-4). Подставим (x = 0) в уравнение:
[
-4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = -4.
]
Теперь мы знаем, что:
[
y = ax^2 + bx - 4.
]
Шаг 3: Используем координаты вершины M(-1, -7)
Вершина параболы (M(-1, -7)) даёт нам дополнительную информацию. Парабола может быть написана в канонической форме:
[
y = a(x + 1)^2 - 7.
]
Это позволяет установить, что координаты вершины отличаются на 1 по (x) и на 7 по (y) от уравнения в стандартной форме.
Шаг 4: Приводим каноническую форму к стандартной
Распишем уравнение в стандартной форме:
[
y = a(x + 1)^2 - 7 = a(x^2 + 2x + 1) - 7 = ax^2 + 2ax + (a - 7).
]
Шаг 5: Сравниваем с общим уравнением
Теперь мы сравним (y = ax^2 + 2ax + (a - 7)) с (y = ax^2 + bx - 4):
- (b = 2a)
- (c = a - 7 = -4)
Шаг 6: Найдем (a)
Теперь найдём значение (a) из уравнения (c = -4):
[
a - 7 = -4 \implies a = 3.
]
Шаг 7: Найдем (b)
Теперь подставим (a) в формулу для (b):
[
b = 2a = 2(3) = 6.
]
Шаг 8: Подытожим
Теперь у нас есть все коэффициенты:
Ответ
Таким образом, найденные значения:
[
a = 3, \quad b = 6, \quad c = -4.
]
Парабола имеет вид:
[
y = 3x^2 + 6x - 4.
]
