Один из острых углов прямоугольное треугольника равен 60 градусов, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 18 см. Чему равна длинна меньшего катета

Чтобы решить задачу, нам нужно сначала вспомнить основные свойства прямоугольного треугольника с одним углом, равным 60 градусам. 1. **Обозначение сторон.** В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов мы можем обозначить: - \( a \) — меньший катет (противоположен углу 60°) - \( b \) — больший катет (противоположен углу 30°) - \( c \) — гипотенуза 2. **Используем тригонометрию.** В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов справедливы следующие соотношения: - Синус угла 60°: \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Косинус угла 60°: \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \) 3. **Связь между сторонами.** В этом треугольнике: - \( \sin(60°) = \frac{a}{c} \) ⇒ \( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \cos(60°) = \frac{b}{c} \) ⇒ \( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \) 4. **Сумма меньшего катета и гипотенузы.** Согласны с условием задачи, сумма меньшего катета и гипотенузы равна 18 см: \[ a + c = 18 \] 5. **Подставим выражение для меньшего катета.** Мы уже знаем, что \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим это выражение в уравнение: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 18 \] Можно привести подобные отчеты: \[ c \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 18 \] 6. **Вынесем \( c \) за скобки.** Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \] 7. **Теперь у нас есть:** \[ c \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{2} = 18 \] 8. **Решим для \( c \):** Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ c \cdot (\sqrt{3} + 2) = 36 \] И теперь: \[ c = \frac{36}{\sqrt{3} + 2} \] 9. **Оптимизируем значение \( c \):** Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ c = \frac{36(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{36(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = \frac{36(\sqrt{3} - 2)}{-1} = -36(\sqrt{3} - 2) \] Получаем: \[ c = 36(2 - \sqrt{3}) \] 10. **Теперь вычислим \( a \):** Подставим \( c \) обратно в формулу для \( a \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36(2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} - 36 \] Итак, длина меньшего катета \( a \) равна \( 18\sqrt{3} - 36 \) см. Если вам нужно округлить или подставить числовые значения, вы можете использовать \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), чтобы получить числовое значение.