В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, AD и АА1 равны 4 см, 3 см и корень из 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD1 и CBD1

Чтобы решить задачу и найти угол между плоскостями ABD1 и CBD1 в прямоугольном параллелепипеде, нам нужно выполнить несколько шагов, включая построение вектора и использование скалярного произведения. ### Шаг 1: Определение координат вершин Пусть вершины нашего параллелепипеда расположены следующим образом: - A(0, 0, 0) - B(4, 0, 0) - D(0, 3, 0) - A1(0, 0, √11) - B1(4, 0, √11) - D1(0, 3, √11) ### Шаг 2: Найдем векторы для плоскостей Плоскость ABD1 включает векторы: - AB = B - A = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0) - AD1 = D1 - A = (0 - 0, 3 - 0, √11 - 0) = (0, 3, √11) Плоскость CBD1 включает векторы: - CB = B - C = B(4, 0, 0) - C(4, 3, 0) = (4 - 4, 0 - 3, 0 - 0) = (0, -3, 0) - CD1 = D1 - C = D1(0, 3, √11) - C(4, 3, 0) = (0 - 4, 3 - 3, √11 - 0) = (-4, 0, √11) ### Шаг 3: Нахождение нормалей к плоскостям Чтобы найти угол между плоскостями, найдем их нормали. Нормали вычисляются с использованием векторного произведения. #### Нормаль к плоскости ABD1: \[ n_1 = AB \times AD1 = (4, 0, 0) \times (0, 3, \sqrt{11}) \] Используя правило векторного произведения: \[ n_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 3) - \hat{j}(4 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 0) + \hat{k}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) \] \[ n_1 = 0\hat{i} - 4\sqrt{11}\hat{j} + 12\hat{k} = (0, -4\sqrt{11}, 12) \] #### Нормаль к плоскости CBD1: \[ n_2 = CB \times CD1 = (0, -3, 0) \times (-4, 0, \sqrt{11}) \] \[ n_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 0 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = \hat{i}((-3) \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 0) - \hat{j}(0 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot (-4)) + \hat{k}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot (-4)) \] \[ n_2 = -3\sqrt{11}\hat{i} + 0\hat{j} - 12\hat{k} = (-3\sqrt{11}, 0, -12) \] ### Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями Теперь мы можем найти угол между плоскостями с помощью скалярного произведения нормалей: \[ \cos(\theta) = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1| |n_2|} \] где: \[ n_1 \cdot n_2 = 0 \cdot (-3\sqrt{11}) + (-4\sqrt{11}) \cdot 0 + 12 \cdot (-12) = -144 \] \[ |n_1| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{11})^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 176 + 144} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \] \[ |n_2| = \sqrt{(-3\sqrt{11})^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{99 + 144} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \] Теперь подставим все значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-144}{(8\sqrt{5})(9\sqrt{3})} = \frac{-144}{72\sqrt{15}} = \frac{-2}{\sqrt{15}} \] ### Шаг 5: Находка угла Теперь найдем угол: \[ \theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{15}}\right) \] Это значение и будет углом между плоскостями ABD1 и CBD1. **Ответ:** Угол между плоскостями ABD1 и CBD1 равен \(\theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{15}}\right)\).