Оцените выражение 3 sin a + 4 cos a

Для того чтобы упростить выражение \( 3 \sin a + 4 \cos a \), можно воспользоваться методом приведения к одной функции тригонометрии.

Можно представить выражение в форме \( R \sin(a + \phi) \), где \( R = \sqrt{3^2 + 4^2} \) и \( \tan \phi = \frac{4}{3} \).

Сначала найдем \( R \):

\[ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Теперь найдем угол \( \phi \):

\[ \tan \phi = \frac{4}{3}. \]

Угол \( \phi \) можно найти с помощью арктангенса:

\[ \phi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right). \]

Теперь можно записать оригинальное выражение в требуемой форме:

\[ 3 \sin a + 4 \cos a = 5 \left( \frac{3}{5} \sin a + \frac{4}{5} \cos a \right) = 5 \sin(a + \phi), \]

где \( \sin \phi = \frac{4}{5} \) и \( \cos \phi = \frac{3}{5} \).

Максимальное значение \( 5 \sin(a + \phi) \) будет равно 5, оно достигается, когда \( \sin(a + \phi) = 1\).

Таким образом, выражение \( 3 \sin a + 4 \cos a \) может варьироваться от минимального значения \( -5 \) до максимального значения \( 5 \).