Для того чтобы упростить выражение ( 3 \sin a + 4 \cos a ), можно воспользоваться методом приведения к одной функции тригонометрии.
Можно представить выражение в форме ( R \sin(a + \phi) ), где ( R = \sqrt{3^2 + 4^2} ) и ( \tan \phi = \frac{4}{3} ).
Сначала найдем ( R ):
[
R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
]
Теперь найдем угол ( \phi ):
[
\tan \phi = \frac{4}{3}.
]
Угол ( \phi ) можно найти с помощью арктангенса:
[
\phi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right).
]
Теперь можно записать оригинальное выражение в требуемой форме:
[
3 \sin a + 4 \cos a = 5 \left( \frac{3}{5} \sin a + \frac{4}{5} \cos a \right) = 5 \sin(a + \phi),
]
где ( \sin \phi = \frac{4}{5} ) и ( \cos \phi = \frac{3}{5} ).
Максимальное значение ( 5 \sin(a + \phi) ) будет равно 5, оно достигается, когда ( \sin(a + \phi) = 1).
Таким образом, выражение ( 3 \sin a + 4 \cos a ) может варьироваться от минимального значения ( -5 ) до максимального значения ( 5 ).
