Для решения задачи начнем с обозначения общего числа учащихся в школе как ( X ).
Исходя из условий задачи, у нас есть следующие данные:
Мальчики: ( \frac{2}{3} ) всех учащихся — мальчики. Это означает, что количество мальчиков равно ( \frac{2}{3}X ).
Спортивные секции: ( \frac{5}{7} ) учащихся посещают спортивные секции. Это означает, что количество учащихся, посещающих секции, равно ( \frac{5}{7}X ).
Отличники: ( \frac{1}{9} ) учащихся — отличники. Это означает, что количество отличников равно ( \frac{1}{9}X ).
Светлые волосы: ( \frac{2}{5} ) учащихся имеют светлые волосы. Это означает, что количество детей со светлыми волосами равно ( \frac{2}{5}X ).
Теперь все эти значения, выраженные через ( X ), должны быть целыми числами, потому что количество учащихся не может быть дробным.
Следовательно, найдём наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей дробей: ( 3, 7, 9, 5 ).
Поиск НОК
Для нахождения НОК:
- ( 3 = 3^1 )
- ( 7 = 7^1 )
- ( 9 = 3^2 )
- ( 5 = 5^1 )
Теперь находим НОК, выбирая максимальную степень каждого простого числа:
- ( 3^2 ) (из 9)
- ( 7^1 )
- ( 5^1 )
Таким образом, НОК будет равен:
[
\text{НОК} = 3^2 \cdot 7^1 \cdot 5^1 = 9 \cdot 7 \cdot 5
]
Теперь вычислим:
[
9 \cdot 7 = 63
]
[
63 \cdot 5 = 315
]
Итак, наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей ( 3, 7, 9, 5 ) равно 315. Это значение подходит для ( X ).
Проверка:
Теперь проверим, все ли дроби дадут целые числа:
Количество мальчиков:
[
\frac{2}{3} \cdot 315 = 210 \quad \text{(целое число)}
]
Количество учащихся, посещающих спортивные секции:
[
\frac{5}{7} \cdot 315 = 225 \quad \text{(целое число)}
]
Количество отличников:
[
\frac{1}{9} \cdot 315 = 35 \quad \text{(целое число)}
]
Количество детей со светлыми волосами:
[
\frac{2}{5} \cdot 315 = 126 \quad \text{(целое число)}
]
Вывод:
Таким образом, общее количество учащихся в школе составляет ( \boxed{315} ).
