решить
Для решения задач по теме "Квадратичная функция" необходимо пройтись по каждому заданию.
Задание 1
Определение квадратичной функции:
Квадратичная функция имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a \neq 0 \).
Рассмотрим предложенные функции:
a) \( y = (5x + 4)^2 \). Раскроем скобки:
\[ y = (5x + 4)^2 = 25x^2 + 40x + 16 \] Это квадратичная функция.b) \( y = (5x + 4)^3 \) — это кубическая функция, так как максимальная степень 3.
c) \( y = 7x^7 - 8x^2 + 5 \) — это степень 7, значит, это не квадратичная функция.
d) \( y = 6x^4 + 1 \) — это степень 4, значит, это не квадратичная функция.
Ответ: a — \( y = (5x + 4)^2 \) является квадратичной функцией.
Задание 2
Необходимо выбрать правильные формы квадратных функций.
a) \( y = 3x^2 - 4x + 5 \) — это стандартная квадратичная форма.
b) \( y = 5(x - 1)^2 + 3 \) — это каноническая форма квадратичной функции.
c) \( y = (x - 3)(x + 2) \) — это произведение двух линейных множителей, также является квадратичной функцией после раскрытия скобок: \[ y = (x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6 \]
Задание 3
Определим параболы с ветвями, которые направлены вверх:
Уравнение параболы имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), и ветви направлены вверх, если \( a > 0 \).
a) \( y = 3x^2 - 4x + 5 \) — ветви вверх, так как \( a = 3 > 0 \).
b) \( y = -x^2 + 2x \) — ветви вниз, так как \( a = -1 < 0 \).
c) \( y = x^2 - x - 1 \) — ветви вверх, так как \( a = 1 > 0 \).
d) \( y = -2x^2 + 8x - 4 \) — ветви вниз, так как \( a = -2 < 0 \).
Ответ: a и c — параболы с ветвями, направленными вверх.
Задание 4
Раскрытие разницы квадратов:
a) \( y = (5x - 2x)(5x + 2x) \) — это разница квадратов: \[ y = (5x)^2 - (2x)^2 = 25x^2 - 4x^2 = 21x^2 \]
b) \( y = (x^2 + 7)(x^2 - 7) \) — это разность квадратов: \[ y = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49 \]
c) \( y = (2x + 3)(2x - 3) \) — это разность квадратов: \[ y = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9 \]
d) \( y = (6x - 5)^2 \) — это квадрат: \[ y = 36x^2 - 60x + 25 \]
Таким образом, разность квадратов - это a и c.
