Дан прямоугольник со сторонами АBC. A=30°;AC=4, 2 см.Найти: AB, BC и угол С
Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол A равен 30 градусам, а сторона AC равна 4,2 см. Мы должны найти длины сторон AB и BC, а также угол C.
Шаг 1: Понимание треугольника
В нашем треугольнике ABC:
- Угол A = 30°
- Сторона AC (прилежащая к углу A) = 4,2 см
Сторона AB (которая является противолежащей к углу A) и сторона BC (гипотенуза) будут вычисляться с помощью тригонометрии.
Шаг 2: Использование тригонометрии
- Найдём сторону AB.
По определению синуса для прямоугольного треугольника: \[ \sin(A) = \frac{\text{Противолежащая}}{\text{Гипотенуза}} \]
В нашем случае: \[ \sin(30°) = \frac{AB}{BC} \] Так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), то: \[ \frac{1}{2} = \frac{AB}{BC} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{1}{2} BC \]
- Теперь найдём сторону BC.
По определению косинуса для прямоугольного треугольника: \[ \cos(A) = \frac{\text{Прилежащая}}{\text{Гипотенуза}} \]
Для нашего треугольника это будет: \[ \cos(30°) = \frac{AC}{BC} \] Знаем, что \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), тогда подставляем: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4,2}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{4,2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8,4}{\sqrt{3}} \approx 4,85 \text{ см} \]
Шаг 3: Нахождение стороны AB
Теперь, когда у нас есть сторона BC, можем найти AB: \[ AB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4,85 \approx 2,425 \text{ см} \]
Шаг 4: Нахождение угла C
Поскольку треугольник прямоугольный, у нас угол A + угол C + угол B = 180°. Зная, что угол B = 90°, можем записать: \[ 30° + C + 90° = 180° \] Теперь, решим: \[ C = 180° - 30° - 90° = 60° \]
Резюме
- Длина AB ≈ 2,425 см
- Длина BC ≈ 4,85 см
- Угол C = 60°
Таким образом, мы нашли необходимые параметры по заданной задаче. Если у вас остались вопросы или нужно пояснить больше, дайте знать!
