Для решения задачи начнём с того, что в прямоугольном треугольнике ABC, у нас известен катет AC и значение синуса угла B. Давайте разберемся, как найти площадь круга, описанного около этого треугольника.
1. Найдем стороны треугольника
В прямоугольном треугольнике у нас есть:
- Катет AC = 12
- ( \sin B = 0,6 )
Из определения синуса мы знаем, что ( \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ).
Пусть BC — противолежащий катет к углу B, а AB — гипотенуза. Тогда мы можем записать:
[
\sin B = \frac{BC}{AB} \Rightarrow 0,6 = \frac{BC}{AB}
]
Пусть AB = c, тогда BC = 0.6c.
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:
[
AC^2 + BC^2 = AB^2 \
12^2 + (0.6c)^2 = c^2
]
2. Подставим значения и решим уравнение
Подставим значения:
[
144 + 0.36c^2 = c^2
]
Перепишем уравнение:
[
144 = c^2 - 0.36c^2 \
144 = 0.64c^2 \
c^2 = \frac{144}{0.64} \
c^2 = 225 \
c = 15
]
Теперь мы знаем, что гипотенуза AB = 15, а противолежащий катет BC можно найти:
[
BC = 0.6c = 0.6 \times 15 = 9
]
3. Найдем площадь треугольника
Теперь у нас есть все стороны:
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54
]
4. Найдем радиус описанной окружности
Радиус ( R ) описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — гипотенуза. В нашем случае ( c = 15 ):
[
R = \frac{15}{2} = 7.5
]
5. Найдем площадь круга
Площадь круга можно найти по формуле:
[
S_{\text{круга}} = \pi R^2
]
Теперь подставим значение радиуса:
[
S_{\text{круга}} = \pi \times (7.5)^2 = \pi \times 56.25 \approx 176.71
]
Вывод
Площадь круга, описанного около треугольника ABC, составляет примерно ( 176.71 ) квадратных единиц.
