В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 12, sin⁡B=0,6 . Найди площадь круга, описанного около этого треугольника.

Для решения задачи начнём с того, что в прямоугольном треугольнике ABC, у нас известен катет AC и значение синуса угла B. Давайте разберемся, как найти площадь круга, описанного около этого треугольника.

1. Найдем стороны треугольника

В прямоугольном треугольнике у нас есть:

• Катет AC = 12
• \( \sin B = 0,6 \)

Из определения синуса мы знаем, что \( \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).

Пусть BC — противолежащий катет к углу B, а AB — гипотенуза. Тогда мы можем записать:

\[ \sin B = \frac{BC}{AB} \Rightarrow 0,6 = \frac{BC}{AB} \]

Пусть AB = c, тогда BC = 0.6c.

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \\ 12^2 + (0.6c)^2 = c^2 \]

2. Подставим значения и решим уравнение

Подставим значения:

\[ 144 + 0.36c^2 = c^2 \]

Перепишем уравнение:

\[ 144 = c^2 - 0.36c^2 \\ 144 = 0.64c^2 \\ c^2 = \frac{144}{0.64} \\ c^2 = 225 \\ c = 15 \]

Теперь мы знаем, что гипотенуза AB = 15, а противолежащий катет BC можно найти:

\[ BC = 0.6c = 0.6 \times 15 = 9 \]

3. Найдем площадь треугольника

Теперь у нас есть все стороны:

• AC = 12
• BC = 9
• AB = 15

Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54 \]

4. Найдем радиус описанной окружности

Радиус \( R \) описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ R = \frac{c}{2} \]

где \( c \) — гипотенуза. В нашем случае \( c = 15 \):

\[ R = \frac{15}{2} = 7.5 \]

5. Найдем площадь круга

Площадь круга можно найти по формуле:

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 \]

Теперь подставим значение радиуса:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \times (7.5)^2 = \pi \times 56.25 \approx 176.71 \]

Вывод

Площадь круга, описанного около треугольника ABC, составляет примерно \( 176.71 \) квадратных единиц.