В треугольнике одна из сторон равна 5 ⋅ 2 5⋅ 2 , другая сторона равна 7 7 , а угол между ними равен 4 5 ∘ 45 ∘ . Найди площадь треугольника.
Чтобы найти площадь треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:
\[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \]
где:
- \( S \) — площадь треугольника,
- \( a \) и \( b \) — длины сторон,
- \( C \) — угол между этими сторонами.
В нашей задаче:
- Длина первой стороны \( a = 5 \cdot 2 = 10 \),
- Длина второй стороны \( b = 7 \),
- Угол между ними \( C = 45^\circ \).
Шаг 1: Подставить значения в формулу
Теперь подставим данные в формулу для площади:
\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \sin(45^\circ) \]
Шаг 2: Найти значение синуса угла
Значение синуса \( 45^\circ \) известно: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 3: Упростить выражение
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Упрощаем:
\[ S = \frac{10 \times 7 \times \sqrt{2}}{4} \]
Шаг 4: Подсчитать
Теперь вычислим:
\[ S = \frac{70 \sqrt{2}}{4} = 17.5 \sqrt{2} \]
Результат
Таким образом, площадь треугольника равна \( 17.5 \sqrt{2} \) квадратных единиц.
Если нужно получить численное значение, то можно использовать приближенное значение \(\sqrt{2} \approx 1.414\):
\[ 17.5 \sqrt{2} \approx 17.5 \times 1.414 \approx 24.749 \]
Итак, площадь треугольника примерно равна \( 24.75 \) квадратных единиц.
