В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают бО тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека — по 120 тыс.р Перед Новым…
В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают бО тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека — по 120 тыс.р Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения задачи нам необходимо определить наибольшую возможную медиану общих выплат сотрудникам в декабре, учитывая как их зарплату, так и премии, которые будут распределены.
Шаг 1: Определим общие выплаты без премий
Сначала перечислим зарплаты сотрудников:
- 5 человек получают по 50 тыс. р.
- 10 человек получают по 80 тыс. р.
- 6 человек получают по 100 тыс. р.
- 2 человека получают по 120 тыс. р.
Теперь запишем все выплаты:
- 50 тыс. р. (5 человек): \( 50, 50, 50, 50, 50 \)
- 80 тыс. р. (10 человек): \( 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80 \)
- 100 тыс. р. (6 человек): \( 100, 100, 100, 100, 100, 100 \)
- 120 тыс. р. (2 человека): \( 120, 120 \)
Шаг 2: Упорядочим выплаты
Теперь упорядочим все выплаты по возрастанию:
\[ 50, 50, 50, 50, 50, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120 \]
Шаг 3: Определим общее количество сотрудников
Посчитаем общее количество сотрудников:
- 5 (50 тыс. р.) + 10 (80 тыс. р.) + 6 (100 тыс. р.) + 2 (120 тыс. р.) = 23 человека.
Шаг 4: Найдем медиану без премий
Так как количество сотрудников нечетное (23), медиана — это значение на позиции:
\[ \text{позиция медианы} = \frac{23 + 1}{2} = 12 \]
В списке упорядоченных зарплат 12-я позиция соответствует 80 тыс. р.
Шаг 5: Определим возможности распределения премий
Общая сумма премий — 200 тыс. р. Мы должны распределить эту сумму так, чтобы медиана после прибавления премий стала выше 80 тыс. р.
Ключевой момент: Чтобы медиана увеличилась, нам нужно увеличить выплаты для как минимум половины от общего числа сотрудников (то есть 12 человек).
Шаг 6: Максимизация медианы
Чтобы медиана стала выше 80 тыс. р., необходимо сделать так, чтобы минимальные 12 выплат превысили 80 тыс. р.
Рассмотрим варианты распределения премий:
Если 10 сотрудникам, которые получают по 80 тыс. р., добавить 10 тыс. р. (то есть, всего 100 тыс. р.):
- Тогда их зарплата станет 90 тыс. р. Теперь в упорядоченном списке 11 сотрудников будут получать 50 и 90 тыс. р., а 12-й — 100 тыс. р.
- Получим новую медиану: 90 тыс. р.
Как распределить оставшиеся 100 тыс. р.?
Если 5 сотрудникам с зарплатой в 50 тыс. р. добавить премию, например, по 10 тыс. р. (всего 50 тыс.) и оставить 100 тыс. р. премии нераспределенными среди оставшихся сотрудников, в результате 10 сотрудников с 80 тыс. р. получат 90 тыс. р., 5 сотрудников по 50 тыс. р. — 60 тыс. р., а оставшиеся 8 сотрудников будут получать 100 и 120 тыс. р.
Теперь упорядоченный список будет следующим:
\[ 60, 60, 60, 60, 60, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120 \]
Таким образом, медиана снова сохраняется на уровне 90 тыс. р. Нам еще нужно проверить, можем ли мы сделать больше, распределяя премии более выгодно.
Шаг 7: Проверка других вариантов
Если мы попробуем увеличить хотя бы одного человека (из тех, кто получает 100 тыс. р.) добавлением 20 тыс. р., а другим по 10 тыс. р. Ну и так далее. Стратегически нам нужно, чтобы больше половины сотрудников получили больше 80. После некоторых расчётов на основе распределения можно прийти к выводу, что наибольшим значением медианы, которую мы можем достичь, является 100 тыс. р.
Ответ
Таким образом, максимальная медианная выплата по итогам распределения премий составит 100 (тысяч рублей).
