Найди сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если а10= -5,3; а22 = 17,5.
Для решения задачи начинаем с того, что запишем формулы для произвольных членов арифметической прогрессии (АП).
Обозначим первый член прогрессии через \( a_1 \), а разность прогрессии через \( d \). Тогда можно записать:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Согласно заданным данным, у нас есть две уравнения:
Для \( a_{10} = -5.3 \): \[ a_1 + 9d = -5.3 \quad (1) \]
Для \( a_{22} = 17.5 \): \[ a_1 + 21d = 17.5 \quad (2) \]
Теперь вычтем (1) из (2):
\[ (a_1 + 21d) - (a_1 + 9d) = 17.5 - (-5.3) \]
Это упрощается до:
\[ (21d - 9d) = 17.5 + 5.3 \]
\[ 12d = 22.8 \]
Теперь решим для \( d \):
\[ d = \frac{22.8}{12} = 1.9 \]
Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, чтобы найти \( a_1 \). Используем уравнение (1):
\[ a_1 + 9 \cdot 1.9 = -5.3 \]
\[ a_1 + 17.1 = -5.3 \]
\[ a_1 = -5.3 - 17.1 = -22.4 \]
Теперь мы нашли первый член и разность:
- \( a_1 = -22.4 \)
- \( d = 1.9 \)
Теперь можем найти сумму первых 18 членов арифметической прогрессии:
Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Где \( a_n \) - это \( n \)-й член прогрессии, который вычисляется по формуле:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Подставим для \( n = 18 \):
\[ a_{18} = a_1 + 17d = -22.4 + 17 \cdot 1.9 \]
Сначала найдем \( 17 \cdot 1.9 \):
\[ 17 \cdot 1.9 = 32.3 \]
Теперь подставим это значение:
\[ a_{18} = -22.4 + 32.3 = 9.9 \]
Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы:
\[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (-22.4 + 9.9) = 9 \cdot (-12.5) = -112.5 \]
Таким образом, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии составляет:
\[ \boxed{-112.5} \]
