Для решения задачи начинаем с того, что запишем формулы для произвольных членов арифметической прогрессии (АП).
Обозначим первый член прогрессии через ( a_1 ), а разность прогрессии через ( d ). Тогда можно записать:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
Согласно заданным данным, у нас есть две уравнения:
Для ( a_{10} = -5.3 ):
[
a_1 + 9d = -5.3 \quad (1)
]
Для ( a_{22} = 17.5 ):
[
a_1 + 21d = 17.5 \quad (2)
]
Теперь вычтем (1) из (2):
[
(a_1 + 21d) - (a_1 + 9d) = 17.5 - (-5.3)
]
Это упрощается до:
[
(21d - 9d) = 17.5 + 5.3
]
[
12d = 22.8
]
Теперь решим для ( d ):
[
d = \frac{22.8}{12} = 1.9
]
Теперь подставим значение ( d ) в одно из уравнений, чтобы найти ( a_1 ). Используем уравнение (1):
[
a_1 + 9 \cdot 1.9 = -5.3
]
[
a_1 + 17.1 = -5.3
]
[
a_1 = -5.3 - 17.1 = -22.4
]
Теперь мы нашли первый член и разность:
- ( a_1 = -22.4 )
- ( d = 1.9 )
Теперь можем найти сумму первых 18 членов арифметической прогрессии:
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Где ( a_n ) - это ( n )-й член прогрессии, который вычисляется по формуле:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
Подставим для ( n = 18 ):
[
a_{18} = a_1 + 17d = -22.4 + 17 \cdot 1.9
]
Сначала найдем ( 17 \cdot 1.9 ):
[
17 \cdot 1.9 = 32.3
]
Теперь подставим это значение:
[
a_{18} = -22.4 + 32.3 = 9.9
]
Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы:
[
S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (-22.4 + 9.9) = 9 \cdot (-12.5) = -112.5
]
Таким образом, сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии составляет:
[
\boxed{-112.5}
]
