Чтобы найти координаты и длину вектора ( \mathbf{b} ), воспользуемся данной формулой ( \mathbf{b} = \frac{1}{3} \mathbf{c} - \mathbf{d} ), а также значениями векторов ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ).
Шаг 1: Выписываем координаты векторов
Вектор ( \mathbf{c} = {-3; 6} ) и вектор ( \mathbf{d} = {2; -2} ).
Шаг 2: Найдем ( \frac{1}{3} \mathbf{c} )
Чтобы найти ( \frac{1}{3} \mathbf{c} ), умножаем каждую координату вектора ( \mathbf{c} ) на ( \frac{1}{3} ):
[
\frac{1}{3} \mathbf{c} = \left{ \frac{1}{3} \cdot -3; \frac{1}{3} \cdot 6 \right} = \left{ -1; 2 \right}
]
Шаг 3: Вычислим вектор ( \mathbf{b} )
Теперь мы можем подставить полученное значение обратно в формулу:
[
\mathbf{b} = \frac{1}{3} \mathbf{c} - \mathbf{d} = \left{ -1; 2 \right} - \left{ 2; -2 \right}
]
Вычитаем соответствующие координаты:
[
\mathbf{b} = \left{ -1 - 2; 2 - (-2) \right} = \left{ -3; 2 + 2 \right} = \left{ -3; 4 \right}
]
Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{b} ) равны ( {-3; 4} ).
Шаг 4: Найдем длину вектора ( \mathbf{b} )
Длину вектора ( \mathbf{b} ) можно найти по формуле:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( x ) и ( y ) — это координаты вектора ( \mathbf{b} ). Подставим значения:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Ответ
Координаты вектора ( \mathbf{b} ) равны ( {-3; 4} ), а его длина составляет ( 5 ).
