Задание 8. В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 60 тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека – по 120 тыс.р.
Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения данной задачи нам необходимо определить, как распределить премию так, чтобы медиана общей суммы выплат (зарплата + премия) для сотрудников была максимальной.
1. **Определим текущие выплаты**:
- 5 человек получают по 50 тыс. р.: \(5 \times 50 = 250\) тыс. р.
- 10 человек получают по 60 тыс. р.: \(10 \times 60 = 600\) тыс. р.
- 6 человек получают по 100 тыс. р.: \(6 \times 100 = 600\) тыс. р.
- 2 человека получают по 120 тыс. р.: \(2 \times 120 = 240\) тыс. р.
Итак, общая зарплата сотрудников:
\[
250 + 600 + 600 + 240 = 1690 \text{ тыс. р.}
\]
2. **Итого, количество сотрудников и их зарплаты**:
- 5 сотрудников — 50 тыс. р.
- 10 сотрудников — 60 тыс. р.
- 6 сотрудников — 100 тыс. р.
- 2 сотрудника — 120 тыс. р.
3. **Составим список текущих зарплат**:
\[
\{50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120\}
\]
Упорядочим зарплаты:
\[
\{50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120\}
\]
4. **Общее количество сотрудников**: 23.
5. **Находим медиану без премий**:
Так как 23 — нечетное число, медиана будет равна значению средней зарплаты (12-й по счёту):
\[
60 \text{ тыс. р.}
\]
6. **Подходящие варианты распределения премии**:
Чтобы максимизировать медиану, нужно добавить премии тем, кто получает наименьшие зарплаты и при этом постараться сделать так, чтобы как можно больше сотрудников получили большие суммы, которые повлияют на медиану.
7. **Пробуем распределить премии**:
- Будем давать премии работникам, которые получают 50 тыс. р. (5 человек) и 60 тыс. р. (10 человек), чтобы повысить их оклады.
- Увеличим зарплаты наиболее низкооплачиваемых сотрудников до уровня 60 тыс. р., а оставшиеся 150 тыс. (из 200) воспользуемся для повышения зарплат других.
Для примера:
- 5 сотрудников, которые получают по 50 тыс. р., получат по 10 тыс. р. каждая (итого 50 тыс. р.). Теперь они будут получать по 60 тыс. р.
- Оставшиеся 150 тыс. р. распределим среди 10 сотрудников, получающих 60 тыс. р.
Можно, например, дать 15 тыс. р. премии этим 10 сотрудникам:
- 10 сотрудников, которые получают 60 тыс. р., будут получать по 75 тыс. р. (итого 150 тыс. р.).
8. **Подсчет новых выплат**:
Теперь наши выплаты:
- 5 сотрудников по 60 тыс. р. (итого 5x60 = 300 тыс. р.)
- 10 сотрудников по 75 тыс. р. (итого 10x75 = 750 тыс. р.)
- 6 сотрудников по 100 тыс. р. (итого 6x100 = 600 тыс. р.)
- 2 сотрудника по 120 тыс. р. (итого 2x120 = 240 тыс. р.)
Общие выплаты:
\[
300 + 750 + 600 + 240 = 1890 \text{ тыс. р.}
\]
9. **Составляем отсортированный список новых зарплат**:
\[
\{60, 60, 60, 60, 60, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120\}
\]
10. **Теперь находит медиана**:
Считаем 12-й элемент в отсортированном списке:
\[
75 \text{ тыс. р.}
\]
Наибольшая возможная медианная выплата с учётом премий составляет 75 тыс. рублей.
