Задание 9. Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал: – Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я. Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначений чисел сотрудников в каждом отделении банка: - Пусть \( x \) – количество сотрудников в малом отделении. - Пусть \( y \) – количество сотрудников в среднем отделении. - Пусть \( z \) – количество сотрудников в большом отделении. Мы знаем, что общее количество сотрудников равно 32: \[ x + y + z = 32 \] Согласно условию задачи, в малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Это можно записать как: \[ x < y < z \] Теперь проанализируем мысли сотрудников. Сказано, что каждый из них посмотрел на соседа справа и подумал, что если тот из большего отделения, чем он сам, то это означает, что такой сотрудник считает размер своего отделения больше, чем размер отделения соседа. Согласно задаче, ровно 20 из всех сказанных мыслей оказались ошибочными. Это может произойти, если сотрудник из меньшего отделения смотрит на сотрудника из большего отделения и думает, что тот из среднего. Теперь мы можем определить, сколько людей в каждом отделении. 1. Поскольку 20 мыслей ошибочны, это значит, что 20 сотрудников из меньшего по сравнению с соседом справа ошибочно полагают, что их соседи из среднего отделения, а на самом деле соседи либо из большого, либо тоже из меньшего. Следовательно, 20 сотрудников должны быть в малом и среднем отделениях. Таким образом, количество сотрудников, которые сидят рядом (благодаря ошибочным суждениям), составляет \( 20 \). Это можно представить как: - Каждому сотруднику в малом отделении (количество \( x \)) по сравнению с сотрудниками среднего и большого отделений даёт ошибочную мысль. - Количество сотрудников, работающих в среднем отделении и смежных с ними по количеству, будет влиять на количество недоразумений. 2. Поскольку не менее 12 сотрудников остаются в большом отделении, на основе логики рассмотрим, что в среднем отделении работает \( y \) ≤ 20. Это возможно при условиях: - Если в малом отделении \( 6 \) сотрудников, тогда: - \( z = 32 - 6 - y \), следовательно: - Для различных вариантов \( 6 + y + z = 32\). #### Чтобы найти y: - Подберем случайные значения для \( y \): 1. Если \( y = 10 \): - \( z = 32 - 6 - 10 = 16 \) → верно, так как \( 6 < 10 < 16 \) → формальное подтверждение. - И тогда получаем ошибочные: \( 10 \) сотрудник, все увидеть \( 20 \). Так, элемент среди \( 6, 10, 16 \) = 10. Теперь мы можем сказать, что количество сотрудников в среднем отделе банка составляет: \[ \boxed{10} \] - это окончательный ответ на задачу.