(2+√11)²+(2-√11)²
Давайте решим данное выражение шаг за шагом.
Выражение, которое нам нужно упростить, выглядит так:
\[ (2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2 \]
Шаг 1: Раскроем квадрат первого слагаемого.
Для первого выражения \((2+\sqrt{11})^2\) применим формулу \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 2\) и \(b = \sqrt{11}\):
\[ (2+\sqrt{11})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 \]
Теперь найдем каждое из слагаемых:
- \(2^2 = 4\)
- \(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
- \((\sqrt{11})^2 = 11\)
Таким образом,
\[ (2+\sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11} \]
Шаг 2: Раскроем квадрат второго слагаемого.
Теперь займёмся \((2-\sqrt{11})^2\):
\[ (2-\sqrt{11})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 \]
Повторяем те же вычисления:
- \(2^2 = 4\)
- \(-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = -4\sqrt{11}\)
- \((\sqrt{11})^2 = 11\)
Таким образом,
\[ (2-\sqrt{11})^2 = 4 - 4\sqrt{11} + 11 = 15 - 4\sqrt{11} \]
Шаг 3: Сложим оба выражения.
Теперь мы можем сложить результаты из двух предыдущих шагов:
\[ (2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2 = (15 + 4\sqrt{11}) + (15 - 4\sqrt{11}) \]
Поскольку \(4\sqrt{11}\) и \(-4\sqrt{11}\) взаимно уничтожаются, остаётся:
\[ = 15 + 15 = 30 \]
Ответ:
\[ (2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2 = 30 \]
Таким образом, итоговое значение данного выражения равно 30.
