Давайте решим данное выражение шаг за шагом.
Выражение, которое нам нужно упростить, выглядит так:
[
(2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2
]
Шаг 1: Раскроем квадрат первого слагаемого.
Для первого выражения ((2+\sqrt{11})^2) применим формулу ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2), где (a = 2) и (b = \sqrt{11}):
[
(2+\sqrt{11})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2
]
Теперь найдем каждое из слагаемых:
- (2^2 = 4)
- (2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = 4\sqrt{11})
- ((\sqrt{11})^2 = 11)
Таким образом,
[
(2+\sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11}
]
Шаг 2: Раскроем квадрат второго слагаемого.
Теперь займёмся ((2-\sqrt{11})^2):
[
(2-\sqrt{11})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2
]
Повторяем те же вычисления:
- (2^2 = 4)
- (-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = -4\sqrt{11})
- ((\sqrt{11})^2 = 11)
Таким образом,
[
(2-\sqrt{11})^2 = 4 - 4\sqrt{11} + 11 = 15 - 4\sqrt{11}
]
Шаг 3: Сложим оба выражения.
Теперь мы можем сложить результаты из двух предыдущих шагов:
[
(2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2 = (15 + 4\sqrt{11}) + (15 - 4\sqrt{11})
]
Поскольку (4\sqrt{11}) и (-4\sqrt{11}) взаимно уничтожаются, остаётся:
[
= 15 + 15 = 30
]
Ответ:
[
(2+\sqrt{11})^2 + (2-\sqrt{11})^2 = 30
]
Таким образом, итоговое значение данного выражения равно 30.
