Найди значения остальных тригонометрических функций, если известно, что cos t = 7/25, 0 < t < π/2
Давайте решим задачу по тригонометрии, где дано значение косинуса угла \( t \): \( \cos t = \frac{7}{25} \), а угол \( t \) находится в первой четверти (то есть \( 0 < t < \frac{\pi}{2} \)).
Мы знаем, что в первой четверти все тригонометрические функции положительны. Для нахождения остальных тригонометрических функций (синуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса) мы воспользуемся основным тригонометрическим соотношением и определением тригонометрических функций.
Определение синуса:
Используем соотношение: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] Подставим значение \( \cos t \): \[ \sin^2 t + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 t + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 t = 1 - \frac{49}{625} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 1 = \frac{625}{625}, \quad \text{поэтому:} \] \[ \sin^2 t = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \] Теперь найдём \( \sin t \): \[ \sin t = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \]Определение тангенса:
Тангенс определяется как: \[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} \] Подставим найденные значения: \[ \tan t = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \]Определение котангенса:
Котангенс — это обратная величина тангенса: \[ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{7}{24} \]Определение секанса:
Секанс — это обратная величина косинуса: \[ \sec t = \frac{1}{\cos t} = \frac{25}{7} \]Определение косеканса:
Косеканс — это обратная величина синуса: \[ \csc t = \frac{1}{\sin t} = \frac{25}{24} \]
Теперь мы можем подвести итоги:
- \( \cos t = \frac{7}{25} \)
- \( \sin t = \frac{24}{25} \)
- \( \tan t = \frac{24}{7} \)
- \( \cot t = \frac{7}{24} \)
- \( \sec t = \frac{25}{7} \)
- \( \csc t = \frac{25}{24} \)
Таким образом, мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла \( t \). Если возникли вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!
