3. Дан треугольник АВС с прямым углом С. cos A = 1 2 Найдите углы А и В, а также sin A, tg A, cos B, sin B и tg B.

Давайте решим задачу с треугольником ABC с прямым углом C, где \(\cos A = \frac{1}{2}\).

Шаг 1: Найдем угол A

Известно, что \(\cos A = \frac{1}{2}\). Значение косинуса равно \(\frac{1}{2}\) для угла \(A\), равного \(60^\circ\). То есть:

\[ A = 60^\circ \]

Шаг 2: Найдем угол B

В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Поскольку у нас есть прямой угол C, он составляет \(90^\circ\). Поэтому мы можем использовать следующее уравнение:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ 60^\circ + B + 90^\circ = 180^\circ \]

Теперь решим это уравнение для \(B\):

\[ B = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \]

Шаг 3: Найдем синусы и тангенсы углов A и B

Теперь, когда углы A и B известны, мы можем найти их синусы и тангенсы.

Для угла A:

• \( \sin A \): Из тригонометрии знаем, что:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• \( \tan A \): Также:

\[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]

Для угла B:

• \( \sin B \): Для угла \(30^\circ\):

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

• \( \cos B \): Так как \(\cos B\) можно также найти через \(\sin A\) из соотношений между углами:

\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• \( \tan B \): Выражается как:

\[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ или } \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Шаг 4: Подытожим результаты

Теперь у нас есть все необходимые значения:

• Угол \(A = 60^\circ\)
• Угол \(B = 30^\circ\)
• \( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan A = \sqrt{3} \)
• \( \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin B = \frac{1}{2} \)
• \( \tan B = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ или } \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь спрашивать!