Из всех восьмиклассников, получивших задание решить квадратное уравнение, 80% верно находят дискриминант. Из тех, кто верно находит дискриминант, 70% верно получают корни. Ещё 8 %…
Из всех восьмиклассников, получивших задание решить квадратное уравнение, 80% верно находят дискриминант. Из тех, кто верно находит дискриминант, 70% верно получают корни. Ещё 8 % восьмиклассников не вычисляют дискриминант, а сразу верно находят корни уравнения при помощи теорем Виета. Какова доля тех, кто верно находит дискриминант, среди тех, кто верно находит корни? Ответ дайте в процентах.
Для решения задачи о нахождении доли восьмиклассников, которые верно находят дискриминант среди тех, кто верно находит корни квадратного уравнения, будем использовать систему условной вероятности.
Обозначим необходимые данные:
- Пусть \( A \) — событие, что ученик верно находит дискриминант.
- Пусть \( B \) — событие, что ученик верно находит корни уравнения.
Даны вероятности:
- Вероятность события \( A \) (верно находит дискриминант): \( P(A) = 0.8 \) (80%).
- Условная вероятность события \( B \) при условии \( A \) (верно находит корни при верно найденном дискриминанте): \( P(B|A) = 0.7 \) (70%).
- Вероятность события, что ученик не вычисляет дискриминант и сразу находит корни: \( P(\text{не } A \text{ и } B) = 0.08 \) (8%).
Определим общую вероятность события \( B \):
Существует два способа, как можно найти корни уравнения:
- Верно найдя дискриминант и воспользовавшись им.
- Не находя дискриминант и используя теорему Виета.
Полная вероятность события \( B \) будет равна сумме вероятностей этих двух способов: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(\text{не } A \text{ и } B) \]
Подставим известные значения: \[ P(B) = (0.7 \cdot 0.8) + 0.08 \] \[ P(B) = 0.56 + 0.08 = 0.64 \]
Теперь найдем долю тех, кто верно находит дискриминант ( событие \( A \) ) среди тех, кто верно находит корни ( событие \( B \) ):
- Для этого используем формулу отношения вероятностей: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Где \( P(A \cap B) \) — это вероятность того, что ученик верно находит и дискриминант, и корни: \[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56 \]
Теперь подставим найденные значения в формулу: \[ P(A|B) = \frac{0.56}{0.64} \]
Рассчитаем: \[ P(A|B) = 0.875 \]
Переведем в процентное значение: \[ P(A|B) = 0.875 \times 100\% = 87.5\% \]
Ответ: Доля тех, кто верно находит дискриминант среди тех, кто верно находит корни, составляет 87.5%.
