Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу треугольника, подобного данному, если его площадь равна 270 см².

Для начала решим задачу по нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника с заданными катетами и затем рассмотрим треугольник, который подобен ему и имеет заданную площадь.

Шаг 1: Нахождение гипотенузы исходного треугольника

Как известно, в прямоугольном треугольнике со сторонами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) справедливо теорема Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В данном случае катеты равны \(a = 5\) см и \(b = 12\) см. Подставим значения в формулу:

\[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Так, гипотенуза данного треугольника равна 13 см.

Шаг 2: Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника (основание \(a\) и высота \(b\)) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим наши значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Нахождение коэффициента масштаба

Теперь у нас есть площадь исходного треугольника (30 см²) и площадь подобного треугольника, которая равна 270 см². Чтобы найти коэффициент увеличения, обозначим его как \(k\). Площадь подобного треугольника изменяется по квадрату коэффициента подобия:

\[ S_{подобного} = k^2 \cdot S \]

Подставим известные значения:

\[ 270 = k^2 \cdot 30 \]

Теперь решим это уравнение для \(k^2\):

\[ k^2 = \frac{270}{30} = 9 \]

Следовательно,

\[ k = \sqrt{9} = 3 \]

Шаг 4: Нахождение гипотенузы подобного треугольника

Гипотенуза подобного треугольника соответствует гипотенузе исходного треугольника, умноженной на коэффициент подобия \(k\):

\[ c_{\text{подобного}} = k \cdot c = 3 \cdot 13 = 39 \text{ см} \]

Ответ

Гипотенуза треугольника, подобного данному и имеющего площадь 270 см², равна 39 см.