Диспетчер скорой помощи за час приняла 400 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 600. (Ответ округли до сотых.)

Для решения задачи о вероятности числа событий (в данном случае, звонков) мы можем использовать распределение Пуассона. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров задачи

Мы знаем, что за час диспетчер скорой помощи принял 400 звонков. Это означает, что среднее количество звонков за час (λ) равно 400.

Шаг 2: Применение распределения Пуассона

Распределение Пуассона описывается следующей формулой: \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \] где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что произойдет ровно \( k \) событий (в нашем случае звонков);
• \( \lambda \) — среднее число событий в интервале (в нашем случае 400);
• \( e \) — основание натурального логарифма (приблизительно равно 2.71828);
• \( k! \) — факториал числа \( k \).

Шаг 3: Находим вероятности

Наша цель — найти вероятность того, что число звонков превысит 600, то есть: \[ P(X > 600) = 1 - P(X \leq 600) \] Для этого нам нужно будет рассчитать вероятность того, что количество звонков не превышает 600.

Шаг 4: Использование нормального приближения

Поскольку \( \lambda = 400 \) — это большое значение, мы можем использовать нормальное приближение для распределения Пуассона. Приближенное нормальное распределение имеет следующие характеристики:

• Среднее (\( \mu \)) = \( \lambda = 400 \)
• Стандартное отклонение (\( \sigma \)) = \( \sqrt{\lambda} = \sqrt{400} = 20 \)

Теперь мы можем использовать стандартное нормальное распределение \( Z \): \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Где \( X \) — это значение, которое мы рассматриваем (в нашем случае 600).

Шаг 5: Рассчитываем значение Z

Подставим значения: \[ Z = \frac{600 - 400}{20} = \frac{200}{20} = 10 \]

Шаг 6: Находим вероятность из таблицы Z

Теперь нам нужно найти вероятность того, что \( Z \) меньше или равно 10. По таблицам стандартного нормального распределения, значение Z = 10 значительно превышает верхние границы таблицы, и вероятность, соответственно, очень близка к 1.

Таким образом, вероятность того, что \( Z > 10 \) очень близка к 0.

Шаг 7: Итоговое решение

Итак, мы имеем: \[ P(X > 600) \approx 1 - 1 = 0 \]

Ответ: Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 600, составляет приблизительно 0.00.