Решить

Конечно, давайте разберем каждую из задач по очереди:

3. Решите неравенства:

a) \(\log_4 (7x - 10) \geq 2\)

1. Решим неравенство \(\log_4 (7x - 10) \geq 2\).
2. Воспользуемся тем, что если \(\log_b(a) = c\), то \(a = b^c\). Поэтому \(7x - 10 \geq 4^2\).
3. \(7x - 10 \geq 16\).
4. \(7x \geq 26\).
5. \(x \geq \frac{26}{7}\).

b) \(\log_{0.2} (x - 7) > -1\)

1. Воспользуемся тем, что если \(\log_b(a) = c\), то \(a = b^c\). Поэтому \(x - 7 > 0.2^{-1}\).
2. \(x - 7 > \frac{1}{0.2}\).
3. \(x - 7 > 5\).
4. \(x > 12\).

c) \(\log_{x-2}(x + 16) \leq 2\)

1. Для существования логарифма \(x - 2 > 0\) и \(x + 16 > 0\).
2. \(x > 2\).
3. \(\log_{x-2}(x + 16) \leq 2\) означает \(x + 16 \leq (x-2)^2\).
4. Решите квадратное неравенство:
   • \(x + 16 \leq x^2 - 4x + 4\).
   • \(0 \leq x^2 - 5x - 12\).
   • Найдите корни уравнения \(x^2 - 5x - 12 = 0\):
     • \((x-8)(x+3) = 0\).
   • Корни: \(x = 8\) и \(x = -3\).
   • Знаки на промежутках: \((-\infty, -3]\cup[8, +\infty)\). Учтите условия существования и положительность логарифма.
5. Ответ: \(x \in (2; 8]\).

d) \(\log_{x} (6 - 4x) = 1\)

1. \(6 - 4x = x^1\).
2. \(6 - 4x = x\).
3. \(6 = 5x\).
4. \(x = \frac{6}{5}\).

Найдите производную функции:

1) \(y = 3x^2 + 4x\)

• Производная: \(y' = 6x + 4\).

2) \(y = x^\frac{1}{3}\)

• Производная: \(y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\).

3) \(y = \sin^2 2x\)

• Производная: \(y' = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 4 \sin 2x \cos 2x = 2 \sin 4x\).

4) \(y = e^{x^2} \cdot \sin 2x\)

• Используем правило произведения.
• \(y' = (e^{x^2})' \cdot \sin 2x + e^{x^2} \cdot (\sin 2x)'\).
• \((e^{x^2})' = 2xe^{x^2}\).
• \((\sin 2x)' = 2 \cos 2x\).
• Производная: \(y' = 2xe^{x^2} \sin 2x + 2e^{x^2} \cos 2x\).

5) \(y = tg x\)

• Производная: \(y' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\).

Если у вас есть еще вопросы или задачи, обращайтесь!