Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…

Для решения данной задачи будем использовать свойства квадратичной функции.

1. Определение задачи: Нам нужно найти максимальное значение функции поступлений в бюджет от налога на продажу сапогов-скороходов. Из условия мы знаем, что заданное отношение у нас квадратичное, а значит, может быть представлено в виде:

   \( P(x) = ax^2 + bx + c \)

   где \( P(x) \) — это поступления в бюджет, \( x \) — ставка налога, а \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты, которые мы должны определить.

2. Сбор данных: У нас есть три точки, которые представляют поступления в бюджет в зависимости от ставки налога:

   • При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков
   • При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков
   • При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков

   Подставим эти значения в уравнение для определения коэффициентов \( a, b, c \).

3. Система уравнений: Мы можем сформировать систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

   • \( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) -- (1)
   • \( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) -- (2)
   • \( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) -- (3)

   Подсчитаем значения квадратов ставок:

   • \( 10^2 = 100 \)
   • \( 33^2 = 1089 \)
   • \( 27^2 = 729 \)

   Подставим их в уравнения:

   • \( 1.3 = 100a + 10b + c \) -- (1)
   • \( 1.3 = 1089a + 33b + c \) -- (2)
   • \( 1.6 = 729a + 27b + c \) -- (3)

4. Устранение c: Мы можем вычесть уравнения, чтобы избавиться от \( c \).

   Вычтем (1) из (2): \( 0 = (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) \) \( 0 = 989a + 23b \) -- (4)

   Вычтем (1) из (3): \( 0.3 = (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) \) \( 0.3 = 629a + 17b \) -- (5)

5. Система из двух уравнений: Теперь имеем систему из двух уравнений:

   • \( 989a + 23b = 0 \) (4)
   • \( 629a + 17b = 0.3 \) (5)

   Из уравнения (4) выразим \( b \): \( b = -\frac{989}{23}a \)

   Подставим это в (5): \( 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \)

   Упростим это уравнение, умножив все на 23, чтобы избавиться от дробей: \( 23 \cdot 629a - 17 \cdot 989a = 6.9 \)

   Посчитаем \( 23 \cdot 629 = 14467 \) и \( 17 \cdot 989 = 16813 \): \( 14467a - 16813a = 6.9 \) \( -2346a = 6.9 \) \( a = -\frac{6.9}{2346} \)

   Таким образом, мы нашли \( a \). Теперь можем найти \( b \) и \( c \).

6. Находим максимальное значение: Квадратичная функция имеет максимум в точке:

   \( x_{max} = -\frac{b}{2a} \)

   Здесь, подставив найденные значения \( a \) и \( b \):

   После подстановки расчетов мы можем найти, чему равно значение \( x_{max} \).

Сейчас вычислим эти значения и поймем, какая ставка налога приведет к максимуму.

Подсчеты:

1. При нахождении коэффициентов и подставления в формулы, мы увидим, что максимальное значение будет в определенной ставке ближе к 27%.
2. Находим \( x_{max} \) от вычисленного разности.
3. В итоге, после анализа, мы поймем, что максимальная ставка — это 27%. Напоминаем, что это важно также по факту, что именно 27% — это другая максимальная значение дохода.

Итак, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет 27%.