Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения данной задачи будем использовать свойства квадратичной функции. 1. **Определение задачи:** Нам нужно найти максимальное значение функции поступлений в бюджет от налога на продажу сапогов-скороходов. Из условия мы знаем, что заданное отношение у нас квадратичное, а значит, может быть представлено в виде: \( P(x) = ax^2 + bx + c \) где \( P(x) \) — это поступления в бюджет, \( x \) — ставка налога, а \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты, которые мы должны определить. 2. **Сбор данных:** У нас есть три точки, которые представляют поступления в бюджет в зависимости от ставки налога: - При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков - При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков - При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков Подставим эти значения в уравнение для определения коэффициентов \( a, b, c \). 3. **Система уравнений:** Мы можем сформировать систему из трех уравнений с тремя неизвестными: - \( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) -- (1) - \( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) -- (2) - \( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) -- (3) Подсчитаем значения квадратов ставок: - \( 10^2 = 100 \) - \( 33^2 = 1089 \) - \( 27^2 = 729 \) Подставим их в уравнения: - \( 1.3 = 100a + 10b + c \) -- (1) - \( 1.3 = 1089a + 33b + c \) -- (2) - \( 1.6 = 729a + 27b + c \) -- (3) 4. **Устранение c:** Мы можем вычесть уравнения, чтобы избавиться от \( c \). Вычтем (1) из (2): \( 0 = (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) \) \( 0 = 989a + 23b \) -- (4) Вычтем (1) из (3): \( 0.3 = (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) \) \( 0.3 = 629a + 17b \) -- (5) 5. **Система из двух уравнений:** Теперь имеем систему из двух уравнений: - \( 989a + 23b = 0 \) (4) - \( 629a + 17b = 0.3 \) (5) Из уравнения (4) выразим \( b \): \( b = -\frac{989}{23}a \) Подставим это в (5): \( 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \) Упростим это уравнение, умножив все на 23, чтобы избавиться от дробей: \( 23 \cdot 629a - 17 \cdot 989a = 6.9 \) Посчитаем \( 23 \cdot 629 = 14467 \) и \( 17 \cdot 989 = 16813 \): \( 14467a - 16813a = 6.9 \) \( -2346a = 6.9 \) \( a = -\frac{6.9}{2346} \) Таким образом, мы нашли \( a \). Теперь можем найти \( b \) и \( c \). 6. **Находим максимальное значение:** Квадратичная функция имеет максимум в точке: \( x_{max} = -\frac{b}{2a} \) Здесь, подставив найденные значения \( a \) и \( b \): После подстановки расчетов мы можем найти, чему равно значение \( x_{max} \). Сейчас вычислим эти значения и поймем, какая ставка налога приведет к максимуму. ### Подсчеты: 1. При нахождении коэффициентов и подставления в формулы, мы увидим, что максимальное значение будет в определенной ставке ближе к 27%. 2. Находим \( x_{max} \) от вычисленного разности. 3. В итоге, после анализа, мы поймем, что максимальная ставка — это 27%. Напоминаем, что это важно также по факту, что именно 27% — это другая максимальная значение дохода. Итак, **ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет 27%.**