Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько этапов и используем понятия из теории вероятностей.
1. Определим известные данные
- Вероятность того, что случайный житель города является клиентом банка АВС, ( P(K) = \frac{1}{4} ) (каждый четвёртый).
- Вероятность того, что клиент банка АВС – женщина, ( P(W|K) = 0.45 ).
- Из этого следует, что вероятность того, что клиент банка АВС – мужчина, ( P(M|K) = 1 - P(W|K) = 1 - 0.45 = 0.55 ).
2. Найдем вероятность того, что случайный житель не является клиентом банка АВС
Вероятность того, что случайный житель не является клиентом банка АВС, равна:
[
P(\neg K) = 1 - P(K) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
3. Найдем общее распределение мужчин и женщин в городе
Согласно условию, мы знаем, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы. Это означает, что:
[
P(W) = P(W|K) \cdot P(K) + P(W|\neg K) \cdot P(\neg K)
]
Пусть ( P(W) ) – это общая вероятность того, что горожанин женщина. Мы тоже можем использовать:
[
P(M) = 1 - P(W)
]
4. Найдем вероятность того, что случайно выбранный мужчина является клиентом банка АВС
Сначала найдём общую вероятность того, что случайный житель – мужчина:
[
P(M) = 1 - P(W) = 1 - (0.45 \cdot \frac{1}{4} + P(W|\neg K) \cdot \frac{3}{4})
]
Поскольку мы не имеем информации о доле женщин среди неклиентов банка, на данный момент сосредоточимся только на мужчинах-клиентах.
С учётом независимости:
[
P(M \cap K) = P(M|K) \cdot P(K) = 0.55 \cdot \frac{1}{4} = \frac{0.55}{4} = 0.1375
]
5. Найдем вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС
Используя формулу:
[
P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K)
]
Чтобы найти ( P(M) ), мы знаем, что:
[
P(M) = \text{(все мужчины)}
]
Поскольку в общем (среди всех) жителях знания о доле клиентов и негодных женщин (неклиентов) нам не дается, то:
[
P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K)
]
Где ( P(M) ) можно взять как вероятность того, что он мужчина без учёта вопросов — считаем долю:
Для женщин мы знаем, что женщины составляют 45% среди клиентов, значит, это говорит о том, что оставшиеся 55% составляют мужчины. На всякий случай, в дальнейшем для упрощения расчетов можно принять, что общая картина городского населения скажем, состоящая из 1000 человек позволяет составить:
[
P(M) = \frac{3}{4} \text{ (т.к. нам важно знать что есть мужчины среди всех)}
]
6. Ответ
Таким образом, вероятность, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, будет равна:
[
P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K) = 0.75 - 0.1375 = 0.6125.
]
Заключение
Вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, составляет 0.6125, или 61.25%.
