Задание 1. Среди взрослых жителей города каждый четвёртый является клиентом банка АВС. Известно, что среди клиентов банка 45% женщины. Считая, что события «горожанин является…

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько этапов и используем понятия из теории вероятностей.

1. Определим известные данные

• Вероятность того, что случайный житель города является клиентом банка АВС, \( P(K) = \frac{1}{4} \) (каждый четвёртый).
• Вероятность того, что клиент банка АВС – женщина, \( P(W|K) = 0.45 \).
• Из этого следует, что вероятность того, что клиент банка АВС – мужчина, \( P(M|K) = 1 - P(W|K) = 1 - 0.45 = 0.55 \).

2. Найдем вероятность того, что случайный житель не является клиентом банка АВС

Вероятность того, что случайный житель не является клиентом банка АВС, равна:

\[ P(\neg K) = 1 - P(K) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

3. Найдем общее распределение мужчин и женщин в городе

Согласно условию, мы знаем, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы. Это означает, что:

\[ P(W) = P(W|K) \cdot P(K) + P(W|\neg K) \cdot P(\neg K) \]

Пусть \( P(W) \) – это общая вероятность того, что горожанин женщина. Мы тоже можем использовать:

\[ P(M) = 1 - P(W) \]

4. Найдем вероятность того, что случайно выбранный мужчина является клиентом банка АВС

Сначала найдём общую вероятность того, что случайный житель – мужчина:

\[ P(M) = 1 - P(W) = 1 - (0.45 \cdot \frac{1}{4} + P(W|\neg K) \cdot \frac{3}{4}) \]

Поскольку мы не имеем информации о доле женщин среди неклиентов банка, на данный момент сосредоточимся только на мужчинах-клиентах.

С учётом независимости:

\[ P(M \cap K) = P(M|K) \cdot P(K) = 0.55 \cdot \frac{1}{4} = \frac{0.55}{4} = 0.1375 \]

5. Найдем вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС

Используя формулу:

\[ P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K) \]

Чтобы найти \( P(M) \), мы знаем, что:

\[ P(M) = \text{(все мужчины)} \]

Поскольку в общем (среди всех) жителях знания о доле клиентов и негодных женщин (неклиентов) нам не дается, то:

\[ P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K) \]

Где \( P(M) \) можно взять как вероятность того, что он мужчина без учёта вопросов — считаем долю:

Для женщин мы знаем, что женщины составляют 45% среди клиентов, значит, это говорит о том, что оставшиеся 55% составляют мужчины. На всякий случай, в дальнейшем для упрощения расчетов можно принять, что общая картина городского населения скажем, состоящая из 1000 человек позволяет составить:

\[ P(M) = \frac{3}{4} \text{ (т.к. нам важно знать что есть мужчины среди всех)} \]

6. Ответ

Таким образом, вероятность, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, будет равна:

\[ P(M \cap \neg K) = P(M) - P(M \cap K) = 0.75 - 0.1375 = 0.6125. \]

Заключение

Вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, составляет 0.6125, или 61.25%.