В треугольнике abc угол c равен 90 градусов косинус b=(корень 39)/8 ab=16 найдите ac

Чтобы найти длину стороны \( AC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), дано, что: - Косинус угла \( B \) равен \( \frac{\sqrt{39}}{8} \) - Длина стороны \( AB = 16 \) Мы будем использовать свойства тригонометрии и теорему Пифагора. **Шаг 1: Находим сторону \( BC \)** В прямоугольном треугольнике \( ABC \) можем воспользоваться определением косинуса угла \( B \): \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{\sqrt{39}}{8} = \frac{AC}{16} \] Теперь умножим обе стороны уравнения на 16: \[ AC = 16 \cdot \frac{\sqrt{39}}{8} \] Сократим \( 16 \) и \( 8 \): \[ AC = 2 \cdot \sqrt{39} \] **Шаг 2: Находим сторону \( BC \)** Для нахождения стороны \( BC \) воспользуемся определением синуса угла \( B \): \[ \sin B = \frac{BC}{AB} \] Чтобы найти \( \sin B \), мы используем основное тригонометрическое соотношение: \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \] Подставим значение косинуса: \[ \sin^2 B + \left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 B + \frac{39}{64} = 1 \] Теперь вычтем \( \frac{39}{64} \) из 1: \[ \sin^2 B = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64}{64} - \frac{39}{64} = \frac{25}{64} \] Теперь найдем \( \sin B \): \[ \sin B = \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8} \] Теперь подставим значение для нахождения \( BC \): \[ \frac{5}{8} = \frac{BC}{16} \] Умножим обе стороны на 16: \[ BC = 16 \cdot \frac{5}{8} = 2 \cdot 5 = 10 \] **Шаг 3: Находим длину стороны \( AC \)** Мы уже нашли \( AC = 2\sqrt{39} \), а \( BC = 10 \). **Шаг 4: Проверяем с помощью теоремы Пифагора** Для проверки, можем использовать теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим найденные значения: \[ 16^2 = (2\sqrt{39})^2 + 10^2 \] Вычислим: \[ 256 = 4 \cdot 39 + 100 \] \[ 256 = 156 + 100 \] \[ 256 = 256 \] Равенство верно, значит, все вычисления сделаны правильно. **Ответ:** Длина стороны \( AC = 2\sqrt{39} \).