в треугольнике abc угол c равен 90 градусов косинус b=(корень 39)/8 ab=16 найдите ac

Чтобы найти длину стороны \( AC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), дано, что:

• Косинус угла \( B \) равен \( \frac{\sqrt{39}}{8} \)
• Длина стороны \( AB = 16 \)

Мы будем использовать свойства тригонометрии и теорему Пифагора.

Шаг 1: Находим сторону \( BC \)

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) можем воспользоваться определением косинуса угла \( B \):

\[ \cos B = \frac{AC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{\sqrt{39}}{8} = \frac{AC}{16} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 16:

\[ AC = 16 \cdot \frac{\sqrt{39}}{8} \]

Сократим \( 16 \) и \( 8 \):

\[ AC = 2 \cdot \sqrt{39} \]

Шаг 2: Находим сторону \( BC \)

Для нахождения стороны \( BC \) воспользуемся определением синуса угла \( B \):

\[ \sin B = \frac{BC}{AB} \]

Чтобы найти \( \sin B \), мы используем основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]

Подставим значение косинуса:

\[ \sin^2 B + \left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2 B + \frac{39}{64} = 1 \]

Теперь вычтем \( \frac{39}{64} \) из 1:

\[ \sin^2 B = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64}{64} - \frac{39}{64} = \frac{25}{64} \]

Теперь найдем \( \sin B \):

\[ \sin B = \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8} \]

Теперь подставим значение для нахождения \( BC \):

\[ \frac{5}{8} = \frac{BC}{16} \]

Умножим обе стороны на 16:

\[ BC = 16 \cdot \frac{5}{8} = 2 \cdot 5 = 10 \]

Шаг 3: Находим длину стороны \( AC \)

Мы уже нашли \( AC = 2\sqrt{39} \), а \( BC = 10 \).

Шаг 4: Проверяем с помощью теоремы Пифагора

Для проверки, можем использовать теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим найденные значения:

\[ 16^2 = (2\sqrt{39})^2 + 10^2 \]

Вычислим:

\[ 256 = 4 \cdot 39 + 100 \] \[ 256 = 156 + 100 \] \[ 256 = 256 \]

Равенство верно, значит, все вычисления сделаны правильно.

Ответ:

Длина стороны \( AC = 2\sqrt{39} \).