Давайте разберем вашу задачу по шагам.
1. Укажите координаты вершины и уравнение оси симметрии графика функции ( y = x^2 + 6x + 5 ).
Шаг 1: Определим вершину параболы.
Для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) координаты вершины можно найти по формуле:
- ( x_v = -\frac{b}{2a} ) (координата ( x )-вершины).
- ( y_v = f(x_v) ) (координата ( y )-вершины).
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = 6 )
- ( c = 5 )
Находим ( x_v ):
[
x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3
]
Теперь найдём ( y_v ):
[
y_v = f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4
]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (-3, -4) ).
Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии находится по ( x = x_v ). Значит, уравнение оси симметрии:
[
x = -3
]
2. Область определения и область значений функции.
Область определения ( D ) функции ( y = x^2 + 6x + 5 ):
Это квадратная функция, которая определена для всех ( x ). Значит:
[
D = \mathbb{R} \quad (\text{все действительные числа})
]
Область значений ( W ) функции:
Парабола открытая вверх (так как ( a > 0 )), и её минимальное значение (то есть значение в вершине) составляет ( -4 ). Таким образом:
[
W = [-4, +\infty)
]
3. Промежутки возрастания и убывания.
Как было установлено, у параболы есть минимум в точке ( x = -3 ):
- Функция убывает на промежутке ( (-\infty, -3) ).
- Функция возрастает на промежутке ( (-3, +\infty) ).
4. Промежутки знакопостоянства.
Поскольку парабола ( y = x^2 + 6x + 5 ) принимает значение ( -4 ) в вершине и все значения выше этой точки, знаки функции будут:
- ( y > 0 ) где ( x > -1 ) (функция пересекает ось абсцисс в двух точках, которые можно найти с помощью дискриминанта).
- ( y < 0 ) при ( x \in (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty) ).
5. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Наименьшее значение функции на промежутке ( (-\infty, +\infty) ) равно ( -4 ) (в вершине), а наибольшего значения нет, так как функция открыта вверх.
[ \text{Наименьшее значение: } -4 ]
6. Найдите значение аргумента ( x ), если ( f(x) = 4 ) для функции ( f(x) = x^2 + x - 2 ).
Решим уравнение:
[
x^2 + x - 2 = 4
]
Приводим к стандартному виду:
[
x^2 + x - 6 = 0
]
Теперь найдем корни уравнения. Для этого используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
]
Корни:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = 2
]
[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2} = -3
]
Значение аргумента ( x ):
[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -3
]
Это решение завершено! Если есть ещё вопросы или требуется дополнительная информация, обязательно сообщите!
