Радиус круга равен 6 . Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 4 8 ∘ , к площади кругового сектора данного круга, ограниченного дугой…

Для решения задачи о нахождении отношения площадей круговых секторов, давайте сначала выясним, как рассчитать площадь кругового сектора и как соотнести угол и длину дуги с площадью сектора.

Шаг 1: Площадь кругового сектора

Площадь \( S \) кругового сектора может быть вычислена по формуле:

\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \]

где:

• \( \theta \) — угол сектора в градусах,
• \( R \) — радиус круга.

Шаг 2: Найдем площадь сектора для угла \( 48^\circ \)

Зададим радиус \( R = 6 \) и угол \( \theta = 48^\circ \):

\[ S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 \]

Теперь посчитаем:

\[ S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 36 \]

Упрощая, имеем:

\[ S_1 = \frac{48}{10} \cdot \pi = 4.8\pi \]

Шаг 3: Найдем площадь сектора для дуги длиной \( 8\pi \)

Длина дуги \( L \) кругового сектора определяется формулой:

\[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R \]

Для нахождения угла \( \theta \) при данной длине дуги используем известную длину:

\[ 8\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 \]

Упрощая:

\[ 8\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 12\pi \]

Теперь делим обе стороны на \( \pi \):

\[ 8 = \frac{\theta}{360} \cdot 12 \]

Умножаем на \( 360 \):

\[ 8 \cdot 360 = 12\theta \]

\[ 2880 = 12\theta \]

Делим на 12:

\[ \theta = 240^\circ \]

Теперь, зная \( \theta \), находим площадь второго сектора:

\[ S_2 = \frac{240}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 \]

Упрощая:

\[ S_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 36 = 24\pi \]

Шаг 4: Найдем отношение площадей

Теперь можем найти отношение площадей \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ \text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{4.8\pi}{24\pi} = \frac{4.8}{24} = \frac{1}{5} \]

Ответ

Отношение площади кругового сектора, соответствующего углу в \( 48^\circ \), к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной \( 8\pi \), равно \( \frac{1}{5} \).