Для решения задачи о нахождении отношения площадей круговых секторов, давайте сначала выясним, как рассчитать площадь кругового сектора и как соотнести угол и длину дуги с площадью сектора.
Шаг 1: Площадь кругового сектора
Площадь ( S ) кругового сектора может быть вычислена по формуле:
[
S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2
]
где:
- ( \theta ) — угол сектора в градусах,
- ( R ) — радиус круга.
Шаг 2: Найдем площадь сектора для угла ( 48^\circ )
Зададим радиус ( R = 6 ) и угол ( \theta = 48^\circ ):
[
S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 6^2
]
Теперь посчитаем:
[
S_1 = \frac{48}{360} \cdot \pi \cdot 36
]
Упрощая, имеем:
[
S_1 = \frac{48}{10} \cdot \pi = 4.8\pi
]
Шаг 3: Найдем площадь сектора для дуги длиной ( 8\pi )
Длина дуги ( L ) кругового сектора определяется формулой:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R
]
Для нахождения угла ( \theta ) при данной длине дуги используем известную длину:
[
8\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi \cdot 6
]
Упрощая:
[
8\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 12\pi
]
Теперь делим обе стороны на ( \pi ):
[
8 = \frac{\theta}{360} \cdot 12
]
Умножаем на ( 360 ):
[
8 \cdot 360 = 12\theta
]
[
2880 = 12\theta
]
Делим на 12:
[
\theta = 240^\circ
]
Теперь, зная ( \theta ), находим площадь второго сектора:
[
S_2 = \frac{240}{360} \cdot \pi \cdot 6^2
]
Упрощая:
[
S_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 36 = 24\pi
]
Шаг 4: Найдем отношение площадей
Теперь можем найти отношение площадей ( S_1 ) и ( S_2 ):
[
\text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{4.8\pi}{24\pi} = \frac{4.8}{24} = \frac{1}{5}
]
Ответ
Отношение площади кругового сектора, соответствующего углу в ( 48^\circ ), к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной ( 8\pi ), равно ( \frac{1}{5} ).
