Основания равнобедренной трапеции относятся как 4:9, а её высота равна 6 см. Найдите тангенс острого угла трапеции, если её площадь равна 78 см².

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Используем формулу для площади трапеции

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где:

• \( S \) — площадь,
• \( a \) и \( b \) — длины оснований,
• \( h \) — высота.

Шаг 2: Установим соотношение оснований

Дано, что основания трапеции относятся как \( 4:9 \). Обозначим длины оснований за \( a = 4k \) и \( b = 9k \), где \( k \) — некоторый множитель.

Шаг 3: Подставим известные значения в формулу площади

Из условия задачи известно, что:

• площадь \( S = 78 \) см²,
• высота \( h = 6 \) см.

Подставим эти значения в формулу площади:

\[ 78 = \frac{(4k + 9k) \cdot 6}{2} \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь упростим уравнение:

\[ 78 = \frac{13k \cdot 6}{2} \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 156 = 13k \cdot 6 \]

Теперь поделим обе стороны на 6:

\[ 26 = 13k \]

Делим обе стороны на 13:

\[ k = 2 \]

Шаг 5: Найдем длины оснований

Теперь найдем длины оснований:

\[ a = 4k = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см} \]

\[ b = 9k = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см} \]

Шаг 6: Найдем тангенс острого угла трапеции

Так как углы в равобедренной трапеции находят два угла, давайте найдем два острых угла. Определим, где будет использован тангенс. В равнобедренной трапеции высота создаёт два прямоугольных треугольника по бокам. Мы можем использовать следующую формулу:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{b - a}{2}} \]

Где \( h = 6 \) см — высота, а \( \frac{b - a}{2} \) — это половина разности оснований:

\[ \tan(\alpha) = \frac{6}{\frac{18 - 8}{2}} = \frac{6}{\frac{10}{2}} = \frac{6}{5} \]

Ответ

Тангенс острого угла трапеции:

\[ \tan(\alpha) = \frac{6}{5} \]

Таким образом, мы успешно нашли тангенс острого угла равнобедренной трапеции.