Давайте решим задачу пошагово.
Шаг 1: Используем формулу для площади трапеции
Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где:
- ( S ) — площадь,
- ( a ) и ( b ) — длины оснований,
- ( h ) — высота.
Шаг 2: Установим соотношение оснований
Дано, что основания трапеции относятся как ( 4:9 ). Обозначим длины оснований за ( a = 4k ) и ( b = 9k ), где ( k ) — некоторый множитель.
Шаг 3: Подставим известные значения в формулу площади
Из условия задачи известно, что:
- площадь ( S = 78 ) см²,
- высота ( h = 6 ) см.
Подставим эти значения в формулу площади:
[
78 = \frac{(4k + 9k) \cdot 6}{2}
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Теперь упростим уравнение:
[
78 = \frac{13k \cdot 6}{2}
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
156 = 13k \cdot 6
]
Теперь поделим обе стороны на 6:
[
26 = 13k
]
Делим обе стороны на 13:
[
k = 2
]
Шаг 5: Найдем длины оснований
Теперь найдем длины оснований:
[
a = 4k = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}
]
[
b = 9k = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}
]
Шаг 6: Найдем тангенс острого угла трапеции
Так как углы в равобедренной трапеции находят два угла, давайте найдем два острых угла. Определим, где будет использован тангенс. В равнобедренной трапеции высота создаёт два прямоугольных треугольника по бокам. Мы можем использовать следующую формулу:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{b - a}{2}}
]
Где ( h = 6 ) см — высота, а ( \frac{b - a}{2} ) — это половина разности оснований:
[
\tan(\alpha) = \frac{6}{\frac{18 - 8}{2}} = \frac{6}{\frac{10}{2}} = \frac{6}{5}
]
Ответ
Тангенс острого угла трапеции:
[
\tan(\alpha) = \frac{6}{5}
]
Таким образом, мы успешно нашли тангенс острого угла равнобедренной трапеции.
