симметричную монету бросают 3 раза. рассмотрите события "в первый раз выпал орёл" и "решка выпала дважды" а) являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность…

Чтобы решить вашу задачу, давайте разберемся с каждым пунктом по очереди.

Условия задачи

В задаче рассматривается бросок симметричной монеты трижды. События:

1. \( A \): "В первый раз выпал орёл".
2. \( B \): "Решка выпала дважды".

Цель: Понять.

Определение событий и расчёт вероятностей

Шаг 1: Определим вероятности событий.

Для симметричной монеты вероятность выпадения орла или решки равна \( \frac{1}{2} \) при каждом броске.

Вероятность события A:

Событие \( A \) происходит, если при первом броске выпадет орёл.

• Вероятность события \( A \): \[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Вероятность события B:

Событие \( B \) — это то, что в трёх бросках выпадает две решки. Это можно проиллюстрировать с помощью биномиального распределения:

• Количество успешных исходов (выпадение решки) = 2,
• Общее количество бросков = 3,
• Вероятность выпадения решки в одном броске = \( \frac{1}{2} \).

Используем формулу для биномиального распределения: \[ P(B) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где:

• \( n = 3 \) (количество бросков),
• \( k = 2 \) (количество решек),
• \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность успеха).

Число сочетаний \( C(3, 2) = 3 \).

Следовательно, вероятность события \( B \): \[ P(B) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Шаг 2: Проверка независимости событий

Чтобы события были независимыми, должно выполняться следующее равенство: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Найдём \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что в первом броске выпал орёл и в трёх бросках выпало две решки.

Если в первом броске выпал орёл (событие \( A \)), то в оставшихся двух бросках мы должны получить две решки. Это возможно только в случае, если оба из оставшихся бросков выпали на решку.

Вероятность того, что в двух бросках выпадут две решки: \[ P(\text{2 решки в 2 бросках}) = P(B | A) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Теперь найдём \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \]

Теперь проверим условие независимости: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Сравнение

Теперь сравним:

• \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \)
• \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \)

Так как \( \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16} \), события \( A \) и \( B \) не являются независимыми.

Шаг 3: Вероятность объединения событий

Объединение событий \( A \) и \( B \) обозначается как \( A \cup B \). По формуле: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставим значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Приведём дроби к общему знаменателю (8): \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответы

а) События не являются независимыми.
б) Вероятность объединения событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).