Симметричную монету бросают 3 раза. рассмотрите события "в первый раз выпал орёл" и "решка выпала дважды" а) являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность объединения этих событий

Чтобы решить вашу задачу, давайте разберемся с каждым пунктом по очереди. ### Условия задачи В задаче рассматривается бросок симметричной монеты трижды. События: 1. \( A \): "В первый раз выпал орёл". 2. \( B \): "Решка выпала дважды". **Цель:** Понять. ### Определение событий и расчёт вероятностей **Шаг 1: Определим вероятности событий.** Для симметричной монеты вероятность выпадения орла или решки равна \( \frac{1}{2} \) при каждом броске. **Вероятность события A:** Событие \( A \) происходит, если при первом броске выпадет орёл. - Вероятность события \( A \): \[ P(A) = \frac{1}{2} \] **Вероятность события B:** Событие \( B \) — это то, что в трёх бросках выпадает две решки. Это можно проиллюстрировать с помощью биномиального распределения: - Количество успешных исходов (выпадение решки) = 2, - Общее количество бросков = 3, - Вероятность выпадения решки в одном броске = \( \frac{1}{2} \). Используем формулу для биномиального распределения: \[ P(B) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( n = 3 \) (количество бросков), - \( k = 2 \) (количество решек), - \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность успеха). Число сочетаний \( C(3, 2) = 3 \). Следовательно, вероятность события \( B \): \[ P(B) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] ### Шаг 2: Проверка независимости событий Чтобы события были независимыми, должно выполняться следующее равенство: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] **Найдём \( P(A \cap B) \)** — вероятность того, что в первом броске выпал орёл и в трёх бросках выпало две решки. Если в первом броске выпал орёл (событие \( A \)), то в оставшихся двух бросках мы должны получить две решки. Это возможно только в случае, если оба из оставшихся бросков выпали на решку. Вероятность того, что в двух бросках выпадут две решки: \[ P(\text{2 решки в 2 бросках}) = P(B | A) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Теперь найдём \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \] Теперь проверим условие независимости: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] ### Сравнение Теперь сравним: - \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) - \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \) Так как \( \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16} \), события \( A \) и \( B \) **не являются независимыми**. ### Шаг 3: Вероятность объединения событий Объединение событий \( A \) и \( B \) обозначается как \( A \cup B \). По формуле: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставим значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Приведём дроби к общему знаменателю (8): \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответы а) События не являются независимыми. б) Вероятность объединения событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).